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第一章 解析正规形1

1 多变量解析函数基础知识1

1.1 解析函数1

1.2 Weierstrass预备定理3

1.3 解析函数芽8

2 向量场的正规形14

2.1 形式正规形14

2.2 共振与非共振16

2.3 标准正规形19

2.4 解析线性化20

2.5 不变流形上的正规形22

3 实平面解析向量场的非退化奇点29

3.1 结点29

3.2 粗焦点31

3.3 中心和细焦点34

3.4 鞍点43

4 映射在不动点附近的正规形48

4.1 形式正规形48

4.2 共振与非共振50

4.3 Poincare-Dulac定理51

4.4 一维解析映射芽的正规形56

5 应用举例58

5.1 Fuchs方程58

5.2 广义稳定流形定理61

5.3 中心定理64

5.4 Hopf分岔68

1.1 局部拓扑构造73

第二章 光滑正规形73

1 基本概念和结果73

1.2 Malgrange预备定理75

2 Frobenius理论和同伦法83

2.1 平面场及其积分曲面83

2.2 向量场的交换性84

2.3 积分曲面的存在性条件86

2.4 同伦法88

3 一维向量场的光滑等价分类89

3.1 光滑等价正规形89

3.2 光滑等价分类91

3.3 含参数的一维向量场的正规形93

4 关于向量场的БeЛицкий-Camoвол定理95

5.1 形式等价与光滑等价100

5 双曲奇点附近的正规形100

5.2 强一次共振双曲奇点的正规形102

5.3 共振双曲奇点有限次光滑等价正规形105

5.4 含参数的向量场在双曲奇点附近的正规形106

6 非双曲奇点附近的有限次光滑正规形108

6.1 中心变量与双曲变量分离的正规形108

6.2 Takens定理111

7 平面向量场初等奇点的光滑轨道等价正规形113

7.1 共振鞍点114

7.2 中心和焦点115

7.3 退化初等奇点117

7.4 含初等奇点的局部向量场族的正规形123

8 微分同胚在不动点附近的光滑等价正规形124

8.1 不动点的局部拓扑构造和不变流形定理125

8.2 同伦法128

8.3 关于映射的БeЛицкий-Camoвол定理129

8.4 双曲不动点附近的正规形130

8.5 微分同胚族在双曲不动点附近的正规形130

8.6 非双曲不动点附近的有限次光滑等价正规形132

第三章 嵌入问题和周期系统的正规形139

1 一维局部嵌入139

2 一维微分同胚的局部光滑分类147

2.1 双曲不动点附近的光滑分类147

2.2 非双曲不动点附近的光滑分类151

3.1 时间差函数163

3 时间差函数--全局光滑分类的不变量163

3.2 光滑分类168

3.3 中心化子和迭代根170

4 周期系统的正规形173

4.1 线性同构嵌入线性向量场173

4.2 Floquet理论183

4.3 周期系统的形式正规形184

4.4 解析线性化186

4.5 光滑自治化190

4.6 高维嵌入问题194

5 单参数一维微分同胚局部族嵌入向量场198

6 应用举例207

6.1 鞍结不动点的横截同宿轨意味着马蹄207

6.2 鞍点分界线盘绕半稳定闭轨的分岔213

6.3 刚性引理与拓扑等价和弱等价216

第四章 极限环226

1 双曲鞍点的同宿分岔226

1.1 同宿轨道的后继映射226

1.2 鞍点附近的转移映射230

1.3 准多项式233

1.4 准有理族236

1.5 定理1.3的证明238

2 Poincare分岔240

2.1 闭轨的后继映射240

2.2 中心附近的后继映射246

2.3 中心和闭轨的有限环性248

3.1 Melnikov函数的定义及其性质250

3 Melnikov函数250

3.2 Melnikov函数的计算公式252

3.3 Melnikov函数在非退化中心处的解析性255

3.4 Melnikov函数在同宿环或异宿环附近的表达式264

3.5 关于可积非Hamilton系统的几点注记279

3.6 一个例子282

4 Dulac定理290

4.1 紧化场291

4.2 多角环及其后继映射294

5 奇点非退化的多项式系统极限环个数的有限性301

6 二次系统极限环个数的有限性309

6.1 Bamon定理310

6.2 Roussarie计划313

参考文献317