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第一章 广义函数的定义及其最简单的性质1

1.基本函数与广义函数1

1.引言1

2.基本函数2

序言3

3.广义函数3

4.广义函数的局部性质5

5.加法运算以及与数或与函数的乘法运算6

第一卷第二版序言7

6.独立变数域中的平移、转动及其他线性变换7

7.发散积分的正则化问题10

8.极限13

9.复基本函数和复广义函数14

10.其他的基本空间15

1.基本定义17

2.广义函数的微分和积分17

2.单变数函数情形的实例20

3.多变数函数情形的实例26

4.作为连续运算的微分28

5.δ-型序列33

6.广义函数的微分方程38

7.空间S中的微分42

3.有幂式奇点的函数的正则化泛函43

1.提出问题43

2.广义函数X？和X？46

3.函数X？与X？的偶组合和奇组合49

4.函数X？，X？，丨X丨λ，丨X丨λsgnX的不定积分52

5.函数X？，X？，丨X丨λ，丨X丨λsgnX的规范化54

6.广义函数(X+io)λ和(X-io)λ58

7.标准的正则化泛函59

8.其他积分的正则化泛函64

9.广义函数rλ70

10.函数rλ分解为平面波73

11.齐次函数78

4.附加函数81

1.附加函数81

2.函数X？和X？展为泰勒级数和罗朗级数83

3.函数丨X丨λ和丨X丨λsgnX的展开88

4.函数(X+io)λ和(X-io)λ92

5.函数(X+io)λ和(X-io)λ展为泰勒级数95

6.函数rλ的展开97

5.广义函数的卷积99

1.广义函数的直积99

2.广义函数的卷积102

3.牛顿位势和微分方程的基本解106

4.普瓦松积分和哥西问题的基本解108

5.任意阶的微分和积分114

1.椭圆型方程的基本解121

6.常系数微分方程的基本解121

2.齐次正则方程的基本解128

3.哥西问题的基本解132

附录Ⅰ.广义函数的局部性质141

1.借助连续函数的均值化来建立基本函数141

2.单位分解143

3.广义函数的局部性质144

4.作为局部运算的微分146

附录Ⅱ.与参数有关的广义函数148

1.连续函数148

2.可微函数149

3.解析函数150

第二章 广义函数的富里埃变换153

1.基本函数的富里埃变换153

1.空间K中函数的富里埃变换153

2.空间Z155

3.多变数的情形157

4.空间Z上的泛函158

5.解析泛函160

6.空间S中函数的富里埃变换165

2.广义函数的富里埃变换(单变数的情形)166

1.定义166

2.实例167

3.广义函数X？，X？，丨X丨λ，丨X丨λsgnX的富里埃变换170

4.广义函数X？lnX+及其同类型函数的富里埃变换174

5.广义函数(ax2+bx+c)？的富里埃变换183

6.解析泛函的富里埃变换189

3.广义函数的富里埃变换(多变数的情形)191

1.定义191

2.直积的富里埃变速192

3.广义函数rλ的富里埃函数193

4.集中作用在有界区域内的广义函数的富里埃变换197

5.作为函数序列的极限的富里埃变换200

4.富里埃变换与微分方程201

1.事先的提示201

2.多重拉普拉斯方程△mll=f的积分201

3.奇维数空间的波动方程203

4.方程的基本解与它的哥西问题基本解之间的关系204

5.古典运算微积206

第三章 特殊类型的广义函数209

1.集中作用在光滑曲面上的广义函数209

1.关于微分形式的预备知识214

2.微分形式ω219

3.广义函数δ(p)222

4.实例，格林公式的推导226

5.微分形式ωk(？)的广义函数δ(k)(p)228

6.关于δ(k)(p)的恒等式232

7.关于δ(k)(a(x)p)的恒等式236

8.层函数238

9.广义函数δ(p1，…，pk)和？239

2.与二次型有关的广义函数248

1.函数δ？(p)和δ？(p)的定义248

2.广义函数P？254

3.对应于复系数二次型的广义函数？λ272

4.广义函数(P+io)λ和(P-io)λ277

5.线性微分方程的基本解282

6.函数(P+io)λ和(P-io)λ的富里埃变换287

7.与贝塞尔函数有关的广义函数289

8.广义函数(c2+p+io)λ和(c2+p-io)λ的富里埃变换291

9.广义函数(c2+p)？和(c2+p)？的富里埃变换295

10.广义函数？和？取整数λ的富里埃变换，广义函数δ(c2+p)及其导数的富里埃变换297

3.齐次函数302

1.引论302

2.几个独立齐数的正齐次函数304

3.(-n)次广义齐次函数310

4.次数为(-n-m)的广义齐次函数317

5.形如rλf的广义函数，其中f是在单位球面上给定的广义函数318

4.任意函数的λ幕320

1.可化奇点的定义320

2.当整个曲面G(x1，…，xn)=0由一级点组成时广义函数Gλ的研究322

3.当曲面G(x1，…，xn)=0由不高于2级的点组成时广义函数Gλ的研究326

4.一般的广义函数Gλ(x1，…，xn)332

5.无限可微函数Φ沿等值曲面G(x1，…，xn)=c的积分335

本卷的基本定义和公式综述339

富里埃变换总表370

补充378

注释与文献介绍380

参考文献383

索引385