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第8章　向量代数与空间解析几何1

8.1　空间坐标系1

8.1.1　空间直角坐标系1

8.1.2　柱坐标与球坐标4

习题8.16

8.2　向量代数6

8.2.1　向量概念6

8.2.2　向量的加法与数乘7

8.2.3　向量的坐标9

8.2.4　向量的数量积12

8.2.5　向量的向量积14

8.2.6　向量的混合积17

习题8.218

8.3　曲面方程与曲线方程20

8.3.1　曲面方程20

8.3.2　空间曲线方程21

习题8.322

8.4　平面与直线23

8.4.1　平面23

8.4.2　直线27

习题8.435

8.5　常见的二次曲面37

8.5.1　球面37

8.5.2　柱面38

8.5.3　旋转面40

8.5.4　锥面41

8.5.5　椭球面43

8.5.6　双曲面44

8.5.7　抛物面45

习题8.547

总习题八48

第9章　多元函数微分学50

9.1　多元函数50

9.1.1　平面点集的基本知识50

9.1.2　多元函数53

习题9.155

9.2　多元函数的极限与连续55

9.2.1　多元函数的极限55

9.2.2　多元函数的连续性58

习题9.259

9.3　偏导数59

9.3.1　偏导数的概念和计算60

9.3.2　二元函数偏导数的几何意义62

9.3.3　函数的偏导数与函数连续的关系62

9.3.4　高阶偏导数63

习题9.364

9.4　全微分65

9.4.1　全微分的概念65

9.4.2　函数可微的必要条件及充分条件66

9.4.3　全微分在近似计算中的应用70

9.4.4　全微分的几何意义70

习题9.471

9.5　方向导数与梯度72

9.5.1　方向导数72

9.5.2　梯度73

习题9.575

9.6　复合函数微分法75

9.6.1　链锁法则75

9.6.2　一阶全微分形式不变性81

习题9.682

9.7　隐函数存在定理与隐函数微分法83

习题9.788

9.8　偏导数的几何应用89

9.8.1　空间曲线的切线与法平面89

9.8.2　空间曲面的切平面与法线90

习题9.893

9.9　二元函数的泰勒公式94

习题9.998

9.10　多元函数的极值98

9.10.1　极值98

9.10.2　条件极值102

习题9.10107

总习题九108

第10章　多元函数积分学110

10.1　重积分与第一型曲线、曲面积分的概念及其性质110

10.1.1　重积分与第一型曲线、曲面积分的概念110

10.1.2　重积分与第一型曲线、曲面积分的性质113

习题10.1115

10.2　二重积分的计算115

10.2.1　在直角坐标系下计算二重积分115

10.2.2　在极坐标系下计算二重积分122

10.2.3　二重积分的换元法128

习题10.2132

10.3　三重积分的计算134

10.3.1　利用直角坐标计算三重积分134

10.3.2　利用柱坐标计算三重积分138

10.3.3　利用球坐标计算三重积分140

10.3.4　三重积分的变量替换142

习题10.3143

10.4　重积分的应用145

10.4.1　重积分的几何应用145

10.4.2　重积分的物理应用147

习题10.4151

10.5　对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）及对面积的曲面积分（第一型曲面积分）152

10.5.1　对弧长的曲线积分152

10.5.2　对面积的曲面积分154

习题10.5158

10.6　对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）与格林公式160

10.6.1　第二型曲线积分160

10.6.2　格林公式165

习题10.6174

10.7　对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）176

10.7.1　有向曲面的概念176

10.7.2　第二型曲面积分的概念177

10.7.3　第二型曲面积分的计算179

习题10.7182

10.8　高斯公式与散度183

10.8.1　高斯公式183

10.8.2　通量与散度187

习题10.8188

10.9　斯托克斯公式与旋度189

10.9.1　斯托克斯公式189

10.9.2　环量与旋度192

习题10.9194

总习题十194

第11章　无穷级数197

11.1　数项级数的概念和性质197

11.1.1　基本概念197

11.1.2　级数的基本性质199

11.1.3　柯西收敛原理201

习题11.1202

11.2　正项级数及其审敛法202

11.2.1　比较判别法203

11.2.2　比值判别法和根值判别法205

11.2.3　积分判别法208

习题11.2209

11.3　任意项级数的收敛判别法210

11.3.1　交错级数210

11.3.2　绝对收敛与条件收敛212

习题11.3214

11.4　函数项级数及其一致收敛性215

11.4.1　函数项级数及其收敛性215

11.4.2　函数项级数的一致收敛性216

11.4.3　一致收敛级数的性质219

习题11.4222

11.5　幂级数222

11.5.1　幂级数的收敛域和收敛半径223

11.5.2　幂级数的一致收敛性226

11.5.3　幂级数的运算性质227

习题11.5230

11.6　函数展开成幂级数231

11.6.1　泰勒级数231

11.6.2　函数展开成泰勒级数233

11.6.3　函数幂级数展开的应用238

习题11.6240

11.7　傅里叶级数241

11.7.1　三角函数系的正交性242

11.7.2　函数展开成傅里叶级数243

11.7.3　正弦级数和余弦级数248

11.7.4　周期为2ι的周期函数的傅里叶级数251

11.7.5　傅里叶级数的复数形式252

习题11.7254

总习题十一255

第12章　常微分方程258

12.1　微分方程的基本概念258

12.1.1　微分方程258

12.1.2　微分方程的解259

习题12.1260

12.2　可分离变量的方程261

12.2.1　可分离变量的方程261

12.2.2　可化为分离变量方程的几类一阶方程264

习题12.2268

12.3　一阶线性方程269

12.3.1　线性方程269

12.3.2　伯努利方程273

习题12.3274

12.4　全微分方程275

12.4.1　全微分方程275

12.4.2　积分因子277

习题12.4280

12.5　可降阶的二阶微分方程281

12.5.1　y″＝f（x）型的方程281

12.5.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程282

12.5.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程284

习题12.5286

12.6　高阶线性微分方程287

12.6.1　二阶线性微分方程举例287

12.6.2　二阶线性微分方程解的结构288

12.7　常系数线性方程291

12.7.1　常系数线性齐次方程291

12.7.2　常系数线性非齐次方程295

12.7.3　欧拉方程300

12.7.4　应用举例302

习题12.7305

12.8　微分方程的幂级数解法举例306

习题12.8308

12.9　常系数线性微分方程组解法举例308

习题12.9311

总习题十二312

习题答案315