李永乐·李正元考研数学 4 2004年版 数学复习全书 理工类2025|PDF|Epub|mobi|kindle电子书版本百度云盘下载

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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法1

内容概要与重难点提示1

考核知识要点讲解1

一、函数1

二、极限的概念与性质3

三、极限的存在与不存在问题4

四、无穷小及其阶6

五、函数的连续性及其判断8

六、求极限的方法9

常考题型归纳及解题方法与技巧15

题型（一） 求反函数15

题型（二） 求复合函数16

题型（三） 利用函数概念求函数表达式16

题型（四） 求0/0型或∞/∞型的极限17

题型（五） 求0·∞或∞-∞型的极限18

题型（六） 求指数型（1∞，00，∞0）的极限19

题型（七） 求含变限积分的不定式的极限19

题型（八） 由极限值确定函数式中的参数20

题型（九） 利用夹逼法求极限21

题型（十） 求n项和数列的极限21

题型（十一） 求n项积数列的极限22

题型（十二） 求递归数列的极限23

题型（十三） 利用函数极限求数列极限24

题型（十四） 无穷小的比较与无穷小的阶的确定25

题型（十五） 讨论函数的连续性与间断点的类型26

题型（十六） 极限的证明题26

题型训练及参考答案27

第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算29

内容概要与重难点提示29

考核知识要点讲解29

一、一元函数的导数与微分29

二、按定义求导适用的情形33

三、基本初等函数导数表与导数四则运算法则34

四、复合函数的微分法则35

五、由复合函数求导法则导出的微分法则35

六、分段函数求导法37

七、高阶导数及n阶导数的求法39

八、一元函数微分学的简单应用41

常考题型归纳及解题方法与技巧42

题型（一） 有关一元函数的导数与微分概念的命题42

题型（二） 一元函数可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论43

题型（三） 求各类一元函数的导数与微分44

题型（四） 变限积分的求导49

题型（五） 一元函数求导与求微分的综合题50

题型（六） 求一元函数的n阶导数51

题型（七） 一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨论51

题型（八） 一元函数导数概念的应用53

题型训练及参考答案54

第三章 一元函数积分概念、计算及应用56

内容概要与重难点提示56

考核知识要点讲解56

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理56

二、积分法则62

三、各类函数的积分法70

四、广义积分73

五、积分学应用的基本方法——微元分析法74

六、一元函数积分学的几何应用75

七、一元函数积分学的物理应用81

常考题型归纳及解题方法与技巧82

题型（一） 有关原函数与定积分概念的命题82

题型（二） 积分值的比较或判断积分值的符号83

题型（三） 估计积分值84

题型（四） 有关原函数的存在性问题84

题型（五） 求分段函数的原函数86

题型（六） 各类被积函数不定积分的计算86

题型（七） 各类被积函数定积分的计算88

题型（八） 利用若干积分技巧计算积分90

题型（九） 求形如？（f（x）？g（y）dy）dx 的积分92

题型（十） 由函数方程求积分93

题型（十一） 广义积分的计算94

题型（十二） 证明积分等式95

题型（十三） 证明积分不等式96

题型（十四） 关于变限积分的讨论99

题型（十五） 一元函数积分学的几何应用100

题型（十六） 一元函数积分学的物理应用104

题型（十七） 综合题106

题型训练及参考答案107

第四章 微分中值定理及其应用109

内容概要与重难点提示109

考核知识要点讲解109

一、连续函数的性质109

二、微分中值定理及其应用111

三、利用导数研究函数的变化112

四、一元函数的最大值与最小值问题117

五、微分中值定理的其他应用118

常考题型归纳及解题方法与技巧119

题型（一） 有关连续函数性质的命题119

题型（二） 有关利用导数研究函数的变化的命题120

题型（三） 一元函数的最值问题125

题型（四） 与最值问题有关的综合题127

题型（五） 讨论函数的零点129

题型（六） 用微分中值定理证明函数或其导数存在某种特征点137

题型（七） 用微分学的方法证明不等式137

题型训练及参考答案142

第五章 一元函数的泰勒公式及其应用145

内容概要与重难点提示145

考核知识要点讲解145

一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式145

二、泰勒公式的求法146

三、一元函数泰勒公式的若干应用148

常考题型归纳及解题方法与技巧150

题型（一） 求泰勒公式150

题型（二） 用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶151

题型（三） 用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点153

题型（四） 有关泰勒公式的中值θ的性质154

题型训练及参考答案155

第六章 微分方程156

内容概要与重难点提示156

考核知识要点讲解156

一、基本概念156

二、一阶微分方程157

三、可降阶的高阶方程161

四、线性微分方程解的性质与结构161

五、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程162

六、二阶常系数非齐次线性方程163

七、可化为求解微分方程的两类问题164

八、应用问题166

常考题型归纳及解题方法与技巧166

题型（一） 变量可分离的方程与齐次方程的求解166

题型（二） 通过简单代换化为变量可分离的方程的求解（数二不要求）167

题型（三） 一阶线性方程与可化为一阶线性方程的求解167

题型（四） 全微分方程的求解（数二不要求）168

题型（五） 可降阶的高阶微分方程的求解169

题型（六） 二阶线性常系数方程的求解170

题型（七） 特殊的变系数二阶线性方程的求解170

题型（八） 已知特解求通解171

题型（九） 含变限积分方程的求解172

题型（十） 由自变量增量与因变量增量间的关系给出的一阶方程172

题型（十一） 综合题与证明题173

题型（十二） 有关微分方程应用题的求解173

题型训练及参考答案177

第七章 向量代数和空间解析几何179

内容概要与重难点提示179

考核知识要点讲解179

一、空间直角坐标系179

二、向量的概念179

三、向量的运算180

四、平面方程、直线方程183

五、平面、直线之间相互关系184

六、常用二次曲面的方程及其图形186

七、空间曲线在坐标平面上的投影187

常考题型归纳及解题方法与技巧187

题型（一） 向量的运算187

题型（二） 求平面方程189

题型（三） 求空间的直线方程190

题型（四） 求点、直线、平面间的关系191

题型（五） 求投影方程192

题型（六） 求曲面方程193

题型训练及参考答案194

第八章 多元函数微分学195

内容概要与重难点提示195

考核知识要点讲解195

一、多元函数的概念、极限与连续性195

二、多元函数的偏导数、方向导数与全微分197

三、多元函数微分法则201

四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法203

五、复合函数求导法则的其他应用205

六、方向导数的计算206

七、多元函数极值充分判别法206

八、多元函数的最大值与最小值问题207

九、多元函数微分学的几何应用210

常考题型归纳及解题方法与技巧212

题型（一） 有关多元函数偏导数与全微分概念的问题212

题型（二） 求二元（三元）各类函数的偏导数与全微分213

题型（三） 变量替换下方程式的变形217

题型（四） 求二元、三元函数的梯度与方向导数218

题型（五） 多元函数的最值问题219

题型（六） 多元函数微分学的几何应用220

题型（七） 有关多元函数的综合题222

题型训练及参考答案223

第九章 多元函数积分的概念、计算及其应用225

内容概要与重难点提示225

考核知识要点讲解225

一、多元函数积分的概念与性质225

二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分229

三、重积分的变量替换235

四、如何应用多元函数积分的计算公式及简化计算240

五、多元函数积分学的几何应用248

六、多元函数积分学的物理应用250

常考题型归纳及解题方法与技巧253

题型（一） 积分值的比较与估计253

题型（二） 有关多元函数积分的概念与性质的命题254

题型（三） 对称性的应用256

题型（四） 交换积分顺序与计算累次积分260

题型（五） 两种坐标系中累次积分的转换262

题型（六） 二重积分的计算263

题型（七） 三重积分的计算266

题型（八） 曲线积分的计算270

题型（九） 曲面积分的计算272

题型（十） 多元函数积分学的几何应用273

题型（十一） 多元函数积分学的物理应用276

题型（十二） 证明题与综合题279

题型训练及参考答案283

第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用285

内容概要与重难点提示285

考核知识要点讲解285

一、多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式285

二、向量场的通量与散度，环流量与旋度287

三、格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算288

四、用线积分表示平面区域的面积，用面积分表示空间区域的体积292

五、平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题292

常考题型归纳及解题方法与技巧296

题型（一） 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式在计算多元函数积分中的应用296

题型（二） 平面上第二类曲线积分与路径无关问题与原函数的求法300

题型（三） 散度与旋度的计算304

题型（四） 综合题305

题型训练及参考答案307

第十一章 无穷级数309

内容概要与重难点提示309

考核知识要点讲解309

一、常数项级数的概念与基本性质309

二、正项级数敛散性的判定310

三、交错级数的敛散性判别法312

四、绝对收敛与条件收敛312

五、函数项级数的收敛域与和函数313

六、幂级数的收敛域313

七、幂级数的运算与和函数的性质315

八、幂级数的求和与函数的幂级数展开316

九、傅里叶级数317

常考题型归纳及解题方法与技巧320

题型（一） 常数项级数敛散性的判定320

题型（二） 求一般函数项级数的收敛域325

题型（三） 求幂级数的收敛域或收敛区间326

题型（四） 幂级数的求和327

题型（五） 求函数的幂级数展开式328

题型（六） 常数项级数求和330

题型（七） 有关傅里叶级数的命题332

题型（八） 证明题与综合题334

题型训练及参考答案337

第二篇 线性代数340

第一章 行列式340

内容概要与重难点提示340

考核知识要点讲解340

一、行列式的概念、展开公式及其性质340

二、有关行列式的几个重要公式344

常考题型归纳及解题方法与技巧344

题型（一） 有关行列式的概念与性质的命题344

题型（二） 数字型行列式的计算347

题型（三） 抽象行列式的计算353

题型（四） 含参数行列式的计算354

题型（五） 关于｜ A ｜＝0的证明355

题型训练及参考答案356

第二章 矩阵及其运算359

内容概要与重难点提示359

考核知识要点讲解359

一、矩阵的概念及几类特殊方阵359

二、矩阵的运算360

三、矩阵可逆的充分必要条件361

四、初等变换362

五、初等矩阵362

六、矩阵的等价362

七、矩阵方程363

常考题型归纳及解题方法与技巧363

题型（一） 有关矩阵的概念及运算363

题型（二） 求方阵的幂365

题型（三） 求与已知矩阵可交换的矩阵367

题型（四） 有关初等矩阵的命题369

题型（五） 关于伴随矩阵的命题370

题型（六） 矩阵可逆的计算与证明371

题型（七） 求解矩阵方程374

题型训练及参考答案377

第三章 n维向量与向量空间380

内容概要与重难点提示380

考核知识要点讲解380

一、n维向量的概念与运算380

二、线性组合与线性表出380

三、线性相关与线性无关381

四、线性相关性与线性表出的关系382

五、向量组的秩与矩阵的秩的关系383

六、矩阵秩的重要公式383

七、向量空间、子空与基、维数、坐标384

八、基变换与坐标变换384

九、规范正交基与Schmidt正交化385

常考题型归纳及解题方法与技巧385

题型（一） 线性组合、线性相关的判别385

题型（二） 线性相关与线性无关的证明389

题型（三） 求秩与极大线性无关组394

题型（四） 有关秩的证明396

题型（五） 关于A＝0的证明397

题型（六） 有关向量空间的判定、维数、基与坐标的命题398

题型（七） 求过渡矩阵及坐标变换399

题型（八） 求规范正交基400

题型（九） 有关秩与直线平面的综合题401

题型训练及参考答案403

第四章 线性方程组406

内容概要与重难点提示406

考核知识要点讲解406

一、线性方程组的各种表达形式406

二、基础解系的概念及其求法406

三、齐次方程组有非零解的判定407

四、非齐次线性方程组有解的判定407

五、非齐次线性方程组解的结构407

六、克莱姆（Cramer）法则408

常考题型归纳及解题方法与技巧408

题型（一） 线性方程组解的基本概念408

题型（二） 线性方程组的求解411

题型（三） 含有参数的方程组解的讨论412

题型（四） 有关基础解系的证明414

题型（五） 有关线性方程组的证明题416

题型训练及参考答案418

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量421

内容概要与重难点提示421

考核知识要点讲解421

一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法421

二、相似矩阵的概念与性质423

三、矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤423

常考题型归纳及解题方法与技巧424

题型（一） 求矩阵的特征值和特征向量424

题型（二） 用特征值和特征向量反求矩阵A429

题型（三） 求矩阵A中的参数431

题型（四） n阶矩阵A能否对角化的判定432

题型（五） 求矩阵A的相似标准形433

题型（六） 求相似时的矩阵P435

题型（七） 相似对角化的应用436

题型（八） 有关实对称矩阵的命题437

题型（九） 有关特征值与特征向量的证明440

题型训练及参考答案441

第六章 二次型444

内容概要与重难点提示444

考核知识要点讲解444

一、二次型的概念及其标准形444

二、合同矩阵及正定矩阵446

常考题型归纳及解题方法与技巧447

题型（一） 有关二次型基本概念的命题447

题型（二） 化二次型为标准形449

题型（三） 求解二次型标准形的逆问题452

题型（四） 判别二次型的正定性453

题型（五） 有关正定性的证明454

题型（六） 有关正定矩阵的综合题455

题型训练及参考答案456

第三篇 概率统计458

第一章 随机事件与概率458

内容概要与重难点提示458

考核知识要点讲解458

一、随机事件的关系与运算458

二、随机事件的概率460

三、条件概率与全概率公式462

四、事件的独立性与伯努利公式463

常考题型归纳及解题方法与技巧464

题型（一） 随机事件间的关系与运算464

题型（二） 概率的概念与性质466

题型（三） 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率468

题型（四） 事件的独立性与独立重复试验472

题型训练及参考答案473

第二章 随机变量的分布及其概率476

内容概要与重难点提示476

考核知识要点讲解476

一、随机变量与分布函数476

二、离散型随机变量与连续型随机变量477

三、几个常见分布478

四、随机变量函数的分布的求法481

常考题型归纳及解题方法与技巧482

题型（一） 确定随机变量概率分布中的未知参数482

题型（二） 确定随机变量的概率分布484

题型（三） 求随机变量函数的分布487

题型（四） 综合应用题491

题型训练及参考答案492

第三章 二维随机变量的概率分布495

内容概要与重难点提示495

考核知识要点讲解495

一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数495

二、二维离散型随机变量496

三、二维连续型随机变量497

四、两个常见的二维连续型随机变量的分布499

五、二维随机变量的独立性500

六、二维随机变量函数的分布的求法501

常考题型归纳及解题方法与技巧502

题型（一） 有关概率分布的计算502

题型（二） 有关分布函数及密度函数的命题505

题型（三） 求两个随机变量函数的分布508

题型训练及参考答案514

第四章 随机变量的数字特征517

内容概要与重难点提示517

考核知识要点讲解517

一、一维随机变量的数字特征517

二、二维随机变量的数字特征518

常考题型归纳及解题方法与技巧519

题型（一） 随机变量的期望与方差519

题型（二） 两个随机变量的数字特征522

题型（三） 综合应用题529

题型训练及参考答案531

第五章 大数定律和中心极限定理533

内容概要与重难点提示533

考核知识要点讲解533

一、大数定律533

二、中心极限定理534

常考题型归纳及解题方法与技巧535

题型（一） 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题535

题型（二） 有关中心极限定理的应用的命题537

题型训练及参考答案541

第六章 数理统计的基本概念543

内容概要与重难点提示543

考核知识要点讲解543

一、总体、样本、样本的数字特征543

二、统计量及抽样分布544

常考题型归纳及解题方法与技巧547

题型训练及参考答案550

第七章 参数估计和假设检验551

内容概要与重难点提示551

考核知识要点讲解551

一、统计估计551

二、假设检验554

常考题型归纳及解题方法与技巧556

题型（一） 最大似然估计与矩估计556

题型（二） 点估计的无偏性与有效性558

题型（三） 正态总体期望与方差的区间估计559

题型（四） 正态总体期望与方差的假设检验561

题型训练及参考答案563