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第1章　函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1　映射与函数1

1.1.2　反函数5

1.1.3　复合函数6

1.1.4　基本初等函数、初等函数7

习题1.17

1.2　函数的极限8

1.2.1　数列的极限8

1.2.2　函数的极限11

1.2.3　函数极限的性质13

习题1.214

1.3　极限运算法则14

习题1.316

1.4　极限存在准则与两个重要极限16

1.4.1　极限存在准则16

1.4.2　两个重要极限17

习题1.419

1.5　无穷小与无穷大20

1.5.1　无穷小20

1.5.2　无穷大21

1.5.3　无穷小的比较21

习题1.522

1.6 函数的连续性与连续函数的运算22

1.6.1　函数的连续性22

1.6.2 函数的间断点24

1.6.3　连续函数的性质与四则运算25

习题1.626

1.7　初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质26

1.7.1　初等函数的连续性26

1.7.2　闭区间上连续函数的性质26

习题1.728

总习题128

第2章　导数与微分30

2.1　函数的导数30

2.1.1 引例30

2.1.2　导数定义32

2.1.3　求导举例33

2.1.4　导数的几何意义35

2.1.5　可导性与连续性的关系36

习题2.137

2.2　函数的求导法则38

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则38

2.2.2　复合函数的求导法则40

2.2.3　反函数的导数41

2.2.4　基本求导公式及求导法则42

习题2.243

2.3　高阶导数44

习题2.346

2.4　隐函数与参数方程所确定的函数的导数46

2.4.1　隐函数的导数46

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数48

习题2.450

2.5　函数的微分50

2.5.1　微分的定义50

2.5.2　微分的几何意义52

2.5.3　微分的运算法则与公式52

2.5.4　微分在近似计算中的应用54

习题2.555

2.6　微分中值定理56

2.6.1　罗尔定理56

2.6.2　拉格朗日中值定理57

2.6.3　柯西中值定理59

习题2.660

2.7　洛必达法则60

2.7.1　0/0型未定式的极限61

2.7.2　∞／∞型未定式的极限62

2.7.3　其他类型未定式的极限63

习题2.765

2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性66

2.8.1　函数的单调性66

2.8.2 曲线的凹凸性与拐点67

习题2.869

2.9 函数的极值与最大值最小值69

2.9.1　函数的极值69

2.9.2　函数的最大值和最小值72

习题2.973

2.10 函数作图74

2.10.1 渐近线74

2.10.2 函数作图74

习题2.1076

总习题276

第3章　一元函数积分学及其应用79

3.1　不定积分79

3.1.1　原函数与不定积分79

3.1.2　换元积分法83

3.1.3　分部积分法88

3.1.4　积分法举例90

习题3.192

3.2　定积分93

3.2.1　定积分概念的引入93

3.2.2　定积分的定义96

3.2.3　定积分的几何意义98

3.2.4　定积分的性质98

习题3.2101

3.3　定积分的计算102

3.3.1　微积分的基本定理102

3.3.2　定积分的换元积分法106

3.3.3　定积分的分部积分法108

习题3.3109

3.4　定积分的应用110

3.4.1　微元法111

3.4.2　平面图形的面积111

3.4.3　平面曲线的弧长114

3.4.4　空间立体的体积115

3.4.5　定积分在物理上的应用117

习题3.4119

3.5　广义积分120

3.5.1　无穷区间上的广义积分120

3.5.2　无界函数的广义积分122

3.5.3　Г函数123

习题3.5124

总习题3124

第4章　空间解析几何127

4.1　空间直角坐标系127

4.1.1　空间直角坐标系127

4.1.2　空间两点间的距离128

习题4.1130

4.2 向量代数130

4.2.1　向量的概念130

4.2.2　向量的线性运算131

4.2.3　向量的坐标表示133

4.2.4　向量的模与方向余弦的坐标表示135

4.2.5　向量的数量积136

4.2.6　向量的向量积138

习题4.2139

4.3　平面与空间直线140

4.3.1　平面及其方程140

4.3.2　空间直线及其方程143

习题4.3145

4.4　空间曲面与空间曲线146

4.4.1　空间曲面及其方程146

4.4.2　空间曲线及其方程151

习题4.4152

总习题4153

第5章 多元函数的微分法及其应用155

5.1　多元函数的概念155

5.1.1　多元函数及其定义域155

5.1.2　二元函数的几何表示157

5.1.3　二元函数的极限157

5.1.4　二元函数的连续性159

习题5.1160

5.2　二元函数的偏导数与全微分161

5.2.1　偏导数161

5.2.2　高阶偏导数163

5.2.3　全微分165

5.2.4　全微分在近似计算中的应用167

习题5.2167

5.3　多元复合函数与隐函数的求导法则168

5.3.1　多元复合函数的求导法则168

5.3.2　隐函数的求导法则172

习题5.3174

5.4　偏导数在几何上的应用174

5.4.1　空间曲线的切线与法平面174

5.4.2　曲面的切平面与法线177

习题5.4180

5.5　多元函数的极值181

5.5.1　多元函数极值的定义181

5.5.2　多元函数极值的计算183

5.5.3　最大值与最小值184

5.5.4　条件极值185

5.5.5　最小二乘法187

习题5.5189

5.6　方向导数与梯度190

5.6.1　方向导数190

5.6.2　梯度192

习题5.6193

总习题5194

第6章　多元函数积分学及其应用196

6.1　二重积分的概念与性质196

6.1.1　二重积分的概念196

6.1.2　二重积分的性质199

习题6.1200

6.2　二重积分的计算200

6.2.1　直角坐标系下的二重积分的计算200

6.2.2　极坐标系下的二重积分的计算205

习题6.2208

6.3　二重积分的应用209

习题6.3211

6.4　三重积分211

6.4.1　三重积分的概念211

6.4.2　直角坐标系下三重积分的计算212

6.4.3　柱面坐标系下三重积分的计算215

6.4.4　球坐标系下三重积分的计算216

习题6.4218

总习题6219

第7章　微分方程221

7.1　微分方程的基本概念221

习题7.1225

7.2　可分离变量的微分方程226

7.2.1　Logistic模型的应用——人口预测229

7.2.2　Logistic模型的应用——传染病传播模型231

习题7.2233

7.3　齐次微分方程233

习题7.3236

7.4　一阶线性微分方程236

7.4.1　一阶线性微分方程236

7.4.2　伯努利（Bernoulli）方程240

习题7.4242

7.5　可降阶的二阶微分方程242

7.5.1　y″＝f（x）型的微分方程242

7.5.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程243

7.5.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程244

习题7.5246

7.6　二阶线性微分方程解的结构247

习题7.6249

7.7　二阶常系数齐次线性微分方程250

习题7.7252

7.8　二阶常系数非齐次线性微分方程252

7.8.1　f(x)=eλxPm（x）型253

7.8.2 f(x)=eαx［pl(x)cosβx+pm(x)sinβx］型254

习题7.8256

总习题7256

第8章　无穷级数259

8.1　常数项级数及性质259

8.1.1　常数项级数的概念259

8.1.2　无穷级数的基本性质261

习题8.1263

8.2　常数项级数收敛性的判别法263

8.2.1　正项级数及其收敛性的判别法263

8.2.2　交错级数及其审敛法&..266

8.2.3　绝对收敛与条件收敛267

习题8.2268

8.3　幂级数269

8.3.1 函数项级数的概念269

8.3.2　幂级数及其收敛性269

8.3.3　幂级数的运算273

习题8.3274

8.4　函数的幂级数展开275

8.4.1　泰勒公式275

8.4.2　泰勒级数277

8.4.3　函数展开成幂级数的方法278

习题8.4280

8.5　傅立叶级数280

8.5.1　三角级数280

8.5.2　三角函数系的正交性280

8.5.3　函数展开成傅立叶级数281

8.5.4　正弦级数和余弦级数284

8.5.5　一般周期函数的傅立叶级数286

习题8.5287

总习题8288

习题参考答案290

参考文献305