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第1章　微分流形1

1.1　基本概念1

1.1.1　流形的概念1

1.1.2　物理背景的流形4

1.1.3　坐标系与微分结构5

1.1.4　切空间与切映射8

1.1.5　流形的定向10

1.1.6　数学中的一些重要流形12

1.2　流形的嵌入26

1.2.1　反函数与隐函数定理26

1.2.2　子流形的浸入与嵌入29

1.2.3　到RN中的嵌入31

1.2.4　Whitney嵌入定理35

1.3　Frobenius定理37

1.3.1　流形上的向量场与流37

1.3.2 向量场的Poisson括号积38

1.3.3　Frobenius定理40

1.3.4　两种等价的定理形式43

1.4　正则值与横截性46

1.4.1　Sard定理46

1.4.2　横截性51

1.4.3　Thom横截性定理52

1.5　向量丛与管形邻域54

1.5.1　向量丛54

1.5.2　平凡丛的判别56

1.5.3　向量丛的运算58

1.5.4　万有向量丛61

1.5.5　管形邻域定理64

1.6　纤维丛66

1.6.1　纤维丛的概念66

1.6.2　球面的Hopf纤维化69

1.6.3　主丛与万有丛74

第2章 同调理论79

2.1　同调群80

2.1.1　同调群的实质80

2.1.2　可剖分空间的单纯复形87

2.1.3　单纯同调群89

2.1.4　单纯同调群的拓扑不变性93

2.1.5　Euler示性数及Euler-Poincaré公式98

2.1.6　奇异同调群99

2.1.7　单纯同调群与奇异同调群的同构105

2.2　流形的共轭结构与同调几何化定理108

2.2.1　流形的共轭元108

2.2.2　正则流形112

2.2.3　共轭元分类与同调类的几何化116

2.2.4　Künneth公式与Leray-Hirsch定理121

2.2.5　万有系数定理126

2.2.6　一些流形的同调群128

2.3　上同调论132

2.3.1　上同调的实质132

2.3.2　上同调群139

2.3.3　上同调几何化定理的证明143

2.3.4　同调环的结构148

2.4　正合同调序列152

2.4.1　相对同调群与切除定理152

2.4.2　相关代数理论156

2.4.3　同调序列161

2.4.4　Mayer-Vietoris序列163

2.4.5　正合序列的应用166

2.5　流形的对称性175

2.5.1　引言175

2.5.2　共轭结构的对称性定理179

2.5.3　Poincaré对偶182

2.5.4　带边流形的共轭结构及其对称性183

2.5.5　Lefschetz对偶187

2.5.6　Alexander对偶定理188

第3章　谱序列及微分形式191

3.1　过滤复形的谱序列191

3.1.1　引言191

3.1.2　Massey正合偶与谱序列的构造194

3.1.3　双复形及其谱序列199

3.2　微分形式与de Rham复形204

3.2.1　Rn中的微分形式204

3.2.2　流形上的de Rham复形207

3.2.3　微分形式的积分211

3.2.4　Stokes公式214

3.2.5　Poincaré引理218

3.2.6　关于de Rham上同调的注记220

3.3　？ech-de Rham复形及谱序列的应用223

3.3.1　背景介绍223

3.3.2　层的概念225

3.3.3　？ech上同调229

3.3.4　？ech-de Rham复形233

3.3.5　de Rham定理236

3.3.6　de Rham上同调的几何表示238

3.4　微分形式的Hodge分解定理244

3.4.1　介绍244

3.4.2　Hodeg＊算子246

3.4.3　流形上的张量场249

3.4.4　Riemann流形254

3.4.5　Laplace-Beltrami算子258

3.4.6　Hodge定理263

第4章　同伦论269

4.1　同伦群269

4.1.1　基本概念269

4.1.2　一些基本性质272

4.1.3　相对同伦群274

4.1.4　同伦群的几何表示275

4.1.5　正合同伦序列278

4.1.6　直和分解公式285

4.1.7　一些流形的同伦群288

4.2　一些重要性质293

4.2.1　共轭元的球面定理293

4.2.2　πn（Sn）的计算与Hopf同伦分类294

4.2.3　Hurewicz定理298

4.2.4　基本群的性质301

4.2.5　Whitehead乘积305

4.2.6　三联组同伦群308

4.2.7　道路空间ΩX（A，B）上的同伦群311

4.3　障碍理论314

4.3.1　映射的延拓问题314

4.3.2　n单式空间315

4.3.3　映射的障碍类317

4.3.4　同伦延拓定理322

4.3.5　（n-1）连通空间的同伦分类324

4.4　纤维丛上的谱序列及其应用326

4.4.1　Leray谱序列定理326

4.4.2　奇异链的双复形330

4.4.3　一些应用332

4.4.4　Gysin序列与王宪钟序列337

4.4.5　Hurewicz定理谱序列的证明340

4.5　球面同伦群的计算342

4.5.1　Eilenberg-MacLane空间342

4.5.2 Postnicov纤维化序列与π4（S3）的计算344

4.5.3 Whitehead纤维化与π5（S3）的计算349

4.5.4 球面同伦群的Serre定理353

4.5.5 Freudenthal同纬像定理358

4.5.6　部分πn+k（Sn）的结果362

第5章　奇点理论与指标公式365

5.1　不动点及其指数367

5.1.1　Brouwer不动点定理367

5.1.2　Lefschetz数369

5.1.3　映射的Brouwer拓扑度372

5.1.4　流形上不动点指数378

5.2　奇点的指标公式381

5.2.1　Lefschetz不动点指数公式381

5.2.2　紧流形上向量场的Poincaré-Hopf指标定理387

5.2.3　向量场边界奇点的指标389

5.2.4　带边流形的向量场指标公式391

5.3　不动点类理论395

5.3.1　一般介绍395

5.3.2　流形上的不动点类及Nielsen数397

5.3.3　S1上映射的提升类400

5.3.4　映射的提升类与Reidemeister数402

5.3.5　姜伯驹群与Nielsen数的计算公式409

5.4　Morse理论（Ⅰ）414

5.4.1　基本概念414

5.4.2　Morse理论的基本定理417

5.4.3　流形的CW复形伦型424

5.4.4　Morse不等式426

5.4.5　最少临界点数与流形分解430

5.4.6　h配边定理与n≥5的Poincaré猜想434

5.5　Morse理论（Ⅱ）439

5.5.1　能量泛函及其临界点的Morse指标439

5.5.2　Riemann流形上的测地线441

5.5.3　能量泛函的二次变分与Jacobi场445

5.5.4　指标定理448

5.5.5　ΩM的CW复型结构452

5.5.6　Bott周期定理455

第6章　示性类463

6.1　基本概念与框架463

6.1.1 向量丛的示性类463

6.1.2　Grassmann流形与示性类的关系465

6.1.3　Thom同构定理470

6.1.4　可定向Rm丛的Euler类473

6.2　Stiefel-Whitney类475

6.2.1 实向量丛上Z2系数示性类的构造475

6.2.2　Stiefel-Whitney数与流形的配边479

6.2.3　Z2示性类的基本性质481

6.2.4　流形M×M的对角上同调类485

6.2.5　切丛上Stiefel-Whitney类的吴文俊公式489

6.2.6　吴文俊公式的应用492

6.3　陈省身示性类494

6.3.1　Chern类的构造494

6.3.2　Chern数与Euler示性数497

6.3.3　复Grassmann流形的上同调环499

6.3.4　一些Chern类的计算504

6.4　Pontrjagin类507

6.4.1　Rn丛的实系数示性类507

6.4.2　Pontjagin数与可定向配边环512

6.4.3　Thom配边理论515

6.4.4　Hirzebruch符号定理519

6.4.5　Hirzebruch-Riemann-Roch定理526

参考文献530

《现代数学基础丛书》已出版书目532