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第1讲 数域上的多项式，（并涉及由其定义的）多项式函数1

1.1 关于不可约多项式的一个基本事实与若干特殊的不可约多项式1

1.1.1 基本事实1

1.1.2 一类特殊的不可约多项式2

1.1.3 另一类特殊的不可约多项式3

1.1.4 矩阵的最小多项式3

1.2 非负多项式的一个特征9

1.3 关于多项式的Fermat大定理的一个初等证明11

1.3.1 关于整数的Fermat大定理11

1.3.2 关于多项式的Fermat大定理12

1.4 关于一元多项式的若干注记15

1.4.1 带余除法16

1.4.2 余数定理的几种证明方法16

1.4.3 零点-因子定理及其应用17

1.4.4 多项式的最大（小）公因（倍）式20

1.5 对称与初等对称多元多项式21

1.5.1 多元多项式21

1.5.2 对称和初等对称多项式24

习题128

第2讲 线性相关性（线性代数的核心概念）29

2.1 涉及线性相关性的几组基本事实29

2.2 替换定理及其等价刻画33

2.3 涉及线性变换（线性映射）的线性相关性38

2.4 涉及内积的（即Euclid空间里的）线性相关性47

2.5 关于矩阵秩概念的开发（Ⅰ）51

2.6 从向量组的线性相关性到子空间组的线性相关性（详见第4讲）55

习题255

第3讲 关于线性空间和线性变换的其他基本事项（联系更一般的模和模同态概念）57

3.1 模（线性空间）公理间的独立性及其他57

3.1.1 模公理间的独立性57

3.1.2 模的Abel群64

3.1.3 线性空间上的线性变换65

3.2 线性空间关于线性变换的不变子空间67

3.3 n维线性空间中n-无关无限子集的若干特征及其存在性71

3.4 n变数可逆线性齐次代换的两种几何解释及其联系75

3.4.1 解释为域F上n维线性空间上的线性变换75

3.4.2 A可逆时，式（3.5）又可解释为域F上n维线性空间上的坐标变换76

3.4.3 A可逆时，式（3.5）的上两种解释的联系76

3.5 线性映射（函数）与其表示矩阵（向量）（“矩阵秩概念的开发（Ⅱ）”，用线性函数给出3.3节的一个补充）77

3.5.1 线性映射与其表示矩阵77

3.5.2 矩阵秩概念的开发（Ⅱ）82

3.5.3 用线性函数给出3.3 节的一个补充82

3.6 对偶空间与“矩阵秩概念的开发（Ⅲ）”84

3.6.1 对偶空间与对偶基底84

3.6.2 对偶线性映射与矩阵秩概念的开发（Ⅲ）86

3.6.3 空间与其对偶空间的对偶性89

3.6.4 线性空间与其对偶空间的联系93

3.7 对称双线性度量空间与线性方程组可解的几何解释97

3.8 Euclid空间与线性方程组的最小二乘法104

3.8.1 Euclid空间的基本概念和基本事实105

3.8.2 向量到子空间的距离与线性方程组的最小二乘法111

3.9 具有对角形表示矩阵的线性变换116

3.10 多重线性函数和行列式的（一种）公理化定义125

3.10.1 d-行列式的定义及性质125

3.10.2 d-行列式恰为通常的行列式127

3.10.3 d-行列式（作为行列式的公理化定义）的直接应用128

3.11 多重线性函数和Binet-Cauchy公式130

3.12 若干例题134

习题3146

第4讲 线性空间的直和分解（模的特殊情形）148

4.1 线性空间的（内）直和与外直和148

4.1.1 线性空间的（内）直和与外直和148

4.1.2 用直和给出3.3 节的另外两个补充157

4.2 线性空间涉及线性变换的若干直和结构158

4.2.1 线性空间涉及线性变换的一类直和分解158

4.2.2 线性空间涉及线性变换的其他直和结构161

习题4164

第5讲 初等变换，初等矩阵与矩阵的等价标准形的应用开发166

5.1 基本概念和基本事实的罗列166

5.2 应用1，初等变换的若干应用168

5.2.1 初等变换在求多项式的最大公因式和最小公倍式中的应用168

5.2.2 初等变换在线性方程组的通解公式建立中的应用173

5.2.3 初等变换在求标准正交基底中的应用177

5.3 应用2，等价标准形的若干应用183

5.4 应用3，初等矩阵在行列式的（另一种）公理化定义中的应用187

5.5 应用4，初等矩阵在由行列式归纳法定义导出行列式性质中的应用190

5.6 矩阵的广义逆与线性方程组的可解性和通解表达196

习题5199

第6讲 矩阵分块运算的应用开发200

6.1 矩阵的分块运算（含分块矩阵乘法法则的一种处理）200

6.1.1 分块矩阵的概念200

6.1.2 矩阵的分块运算202

6.2 应用1，矩阵乘法的结合律和Cramer法则的证明204

6.2.1 矩阵乘法的结合律的证明204

6.2.2 Cramer法则的证明205

6.3 应用2，Cayley-Hamilton定理的一个简化证明207

6.4 应用3，关于矩阵秩概念的开发（Ⅳ）210

6.5 应用4，其他例题211

习题6214

第7讲 自然数集与数学归纳法216

7.1 自然数集的Peano公理216

7.2 关于“自然数集”的一个可供使用的“朴素理论”224

7.3 数学归纳法用于“证明”225

7.4 数学归纳法用于“构作”234

7.5 数学归纳法用于“定义”和“思考”237

7.6 集合上的偏序关系与Zorn引理238

习题7242

第8讲 非Klein意义上的“高观点下的初等数学”244

8.1 对数的换底公式与分数的约分公式244

8.2 根在复平面“单位圆（虚轴）”上的实不可约多项式在一般域上的推广246

8.3 Fibonacci数列的通项公式247

8.4 m·n=（m,n）[m,n]254

8.5 Newton二项公式254

8.6 关于组合数的矩阵方法255

8.7 初等几何的若干等式和不等式258

8.8 若干高等数学事实的证明到初等数学已知事实的归结258

习题8259

参考文献260

索引262