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第1篇 数理逻辑3

第1章 命题逻辑3

1.1命题与连接词3

1.1.1命题的概念3

1.1.2逻辑连接词4

1.2命题公式及命题公式的翻译7

1.2.1命题公式7

1.2.2命题的翻译7

1.2.3命题公式的解释8

1.3等价公式及公式的分类10

1.3.1等价公式的定义和性质10

1.3.2基本等价公式11

1.3.3置换规则11

1.3.4公式的分类12

1.4蕴含式与对偶式14

1.4.1蕴含式14

1.4.2对偶式16

1.5其他连接词与最小连接词组18

1.5.1其他连接词18

1.5.2最小连接词组19

1.6范式20

1.6.1简单合取式与简单析取式21

1.6.2公式的范式21

1.7公式的主范式22

1.7.1主析取范式23

1.7.2主合取范式25

1.7.3主析取范式与主合取范式之间的关系28

1.7.4主范式的应用29

1.8推理理论29

1.8.1有效论证30

1.8.2推理方法30

习题34

第2章 谓词逻辑38

2.1谓词逻辑的基本概念38

2.1.1个体、谓词38

2.1.2命题函数39

2.1.3量词39

2.2谓词公式与翻译40

2.2.1谓词公式40

2.2.2谓词公式的翻译41

2.3约束变元与自由变元42

2.4谓词演算的等价式及蕴含式44

2.4.1量词的转换律44

2.4.2量词辖域的扩张律与收缩律45

2.4.3量词的分配律46

2.4.4多个量词的使用47

2.5前束范式48

2.6谓词演算的推理理论50

2.6.1推理规则50

2.6.2推理实例51

习题55

第2篇 集合论61

第3章 集合的基本概念和运算61

3.1集合的基本概念61

3.2集合的基本运算63

3.2.1集合的运算63

3.2.2集合运算算律65

3.3集合中元素的计数66

3.3.1容斥原理66

3.3.2容斥原理实例69

3.4笛卡儿乘积70

3.4.1有序对70

3.4.2笛卡儿积71

3.4.3 n阶笛卡儿积73

习题74

第4章 关系77

4.1关系的概念77

4.2关系的表示与性质79

4.2.1关系的矩阵表示79

4.2.2关系的图形表示法79

4.2.3关系的性质80

4.3关系的运算81

4.3.1关系的逆运算81

4.3.2关系的合成运算83

4.4关系的闭包运算86

4.5相容关系与覆盖91

4.5.1关系图法93

4.5.2关系矩阵法93

4.6等价关系与划分94

4.7偏序关系96

习题100

第5章 函数106

5.1函数的基本概念和性质106

5.1.1函数的定义106

5.1.2函数的性质108

5.2函数的复合与反函数113

5.2.1函数的复合运算113

5.2.2函数的逆运算115

习题118

第3篇 代数系统123

第6章 代数系统一般性质123

6.1二元运算及其性质123

6.1.1二元运算123

6.1.2二元运算律125

6.1.3二元运算特殊元126

6.1.4二元运算实例128

6.2代数系统130

6.3代数系统的同态与同构132

6.3.1同态与同构132

6.3.2同态与同构实例133

6.3.3同态与同构的性质136

6.4同余关系与商代数136

6.4.1同余关系136

6.4.2商代数137

习题137

第7章 典型的代数系统141

7.1半群与群141

7.1.1半群与独异点141

7.1.2群的定义与性质144

7.1.3子群147

7.1.4陪集与拉格朗日定理150

7.1.5正规子群与商群155

7.1.6群的同态与同构157

7.1.7循环群158

7.1.8置换群161

7.2环和域164

7.2.1环的定义164

7.2.2整环与域165

7.2.3环的性质166

7.2.4子环、理想与商环168

7.3格与布尔代数169

7.3.1格的定义与性质169

7.3.2子格与格同态172

7.3.3分配格174

7.3.4有补格175

7.3.5布尔代数175

习题178

第4篇 图论185

第8章图185

8.1图的基本概念185

8.1.1图的定义185

8.1.2子图190

8.1.3图的同构191

8.1.4图的运算192

8.2图的连通性193

8.2.1通路和回路193

8.2.2图的连通性195

8.2.3图的连通度198

8.3图的矩阵表示200

8.3.1图的关联矩阵200

8.3.2图的邻接矩阵201

8.3.3图的可达矩阵204

习题206

第9章 欧拉图和哈密顿图209

9.1欧拉图209

9.1.1欧拉图的引入和定义209

9.1.2欧拉图的判定211

9.1.3欧拉图的难点214

9.1.4欧拉图的应用215

9.2哈密顿图219

9.2.1哈密顿图的引入和定义219

9.2.2哈密顿图的判定220

9.2.3哈密顿图的难点226

9.2.4哈密顿图的应用227

习题229

第10章 特殊图233

10.1树233

10.1.1树的定义与性质233

10.1.2生成树236

10.1.3最小生成树237

10.1.4根树定义与分类239

10.1.5最优树与哈夫曼算法242

10.2二分图243

10.2.1二分图的引入和定义243

10.2.2二分图的判定243

10.2.3匹配245

10.3平面图249

10.3.1平面图的引入和定义249

10.3.2平面图的欧拉公式251

10.3.3平面图判定253

10.3.4平面图的对偶图253

10.3.5平面图的可着色性254

10.3.6平面图的应用256

习题256

参考文献259