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前言1

第一章 历史概述1

1.1 欧几里得几何1

1.1.1 《几何原本》的学术背景1

1.1.2 几何学--古希腊数学的主体3

1.1.3 演绎证明的范本4

1.2 皮亚诺自然数理论6

1.2.1 分析数学--数学的新阶段6

1.2.2 分析数学的基础危机8

1.2.3 分析算术化9

1.2.4 分析数学中的无限12

1.2附1 几何学自身的重大变革15

1.2附2 虚数是怎样进入数学的？19

1.2附3 皮亚诺算术的适当展开21

1.3 ZFC集论27

1.3.1 康托尔集论与集论诞生时期的风暴27

1.3.1附 康托尔辩词录：数学的自由与制约30

1.3.2 集论悖论与基础危机30

1.3.3 数学可否归为逻辑？32

1.3.4 直觉主义简介33

1.3.5 希尔伯特规划与哥德尔不完备性定理35

1.3.6 ZFC集论脱颖而出38

1.4 本章小结39

第二章 逻辑准备41

2.1 命题演算初步41

2.1.1 命题连接词41

2.1.2 真值表与永真式44

2.1.3 真值方程组，应用举例46

2.1.4 命题连接词的完全组50

2.2 谓词演算简介52

2.2.1 谓词演算语言52

2.2.2 什么是数学证明？54

2.2.3 数学形式系统举例--形式算术58

第三章 集论基本概念60

3.1 ZF语言60

3.2 外延公理与内涵公理61

3.3 无序对公理64

3.4 并集公理与幂集公理66

3.5 关系与映射69

3.5.1 Cartesian积集69

3.5.2 关系70

3.5.3 映射(函数)72

3.5.3 附 单值化原则75

3.6 无限公理76

3.6.1 最小归纳集ω76

3.6.2 归纳定义82

3.6.3 鸽笼原理86

第四章 什么是实数？88

4.1 等价关系与分类88

4.1.1 等价关系88

4.1.2 等价类90

4.1.3 选代表原则与选择公理92

4.2 N2的一个重要分类--什么是整数？93

4.2附 由哪些自然数性质推出了整数性质？99

4.3 重要练习一：Z×(Z-{0})的一个分类--什么是有理数？100

4.4.1 N上的滤子104

4.4 N上超滤与N的一种扩张104

4.4.2 N的一种扩张107

4.4.3 小结113

4.6 重要练习二：Q〈的一个分类116

4.7 什么是实数？118

第五章 结构与模型123

5.1 结构的概念与语言123

5.2 同构与同态124

5.3 理论与模型126

5.3附 完备序域的(同构)惟一性128

5.4 模型原理及应用例129

5.4附 N的另一种构造132

6.1 等势139

第六章 势139

6.2 不同大小的实无限141

6.3 Cantor-Bernstein定理142

6.4 关于可数集的结论145

6.4附 可数集性质的另一常用表述148

6.5 势的性质与选择公理149

6.6 连续统假设150

第七章 良序结构与超限归纳法153

7.1 偏序153

4.5 一种特殊的非Archimedes序域--从 N到 Q155

7.2 全序155

7.3 良序157

7.3附 良序指标集159

7.4 超限归纳法160

7.5 关于结构<ω，∈>的练习165

第八章 序数167

8.1 序数的概念及一般性质167

8.2 后继序数与极限序数170

8.3 替换公理172

8.4 关于序数的超限归纳法175

8.4附 On上的递归定义177

8.5 集的号码库-Hartogs数179

8.6 正则公理181

8.6附 集宇宙的形象182

第九章 选择公理186

9.1 选择公理的特殊性186

9.2 良序原理188

9.3 Zorn引理191

9.4 选择公理的地位及应用例(滤子扩张原则)194

第十章 基数198

10.1 基数概念198

10.2 基数算术202

10.2附 序数与基数的加乘运算的关系207

10.3 正则基数与奇异基数208

10.4 基数计算例：ω上超滤空间有多大？212

第十一章 自然数--主算术超滤215

11.1 再谈超滤215

11.2 超滤空间βω中的简单等式217

11.3 算术超滤219

第十二章 结束语223

练习题与思考题提示或解答228

参考文献252