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绪论 微积分的研究对象和基本思想方法1

第1章 微积分的理论基础7

第一节 映射与函数7

1.1 集合及其运算7

1.2 映射与函数的概念9

1.3 复合映射与复合函数&.12

1.4 逆映射与反函数14

1.5 初等函数与双曲函数15

1.6 函数的参数表示与极坐标表示16

习题1.121

第二节 数列的极限23

2.1 数列极限的概念23

2.2 收敛数列的性质与极限运算法则27

2.3 数列收敛的判别准则32

习题1.236

第三节 函数的极限38

3.1 函数极限的概念38

3.2 函数极限的性质及运算法则43

3.3 两个重要极限47

3.4 函数极限的存在准则50

习题1.351

第四节 无穷小量与无穷大量52

4.1 无穷小量及其阶的概念53

4.2 无穷小的等价代换56

4.3 无穷大量57

习题1.459

第五节 连续函数60

5.1 函数的连续性概念与间断点的分类60

5.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性63

5.3 闭区间上连续函数的性质66

习题1.568

第1章习题70

综合练习题72

第2章 一元函数微分学及其应用74

第一节 导数的概念74

1.1 导数的定义74

1.2 导数的几何意义78

1.3 可导与连续的关系81

1.4 科学技术中的导数问题举例81

习题2.184

第二节 求导的基本法则86

2.1 函数和、差、积、商的求导法则86

2.2 复合函数的求导法则88

2.3 反函数的求导法则90

2.4 高阶导数93

习题2.295

第三节 隐函数与由参数方程表示的函数的求导法97

3.1 隐函数求导法97

3.2 由参数方程表示的函数的求导法99

3.3 相关变化率102

习题2.3104

第四节 微分105

4.1 微分的概念105

4.2 微分的几何意义107

4.3 微分的运算法则108

4.4 微分在近似计算中的应用109

习题2.4110

第五节 微分中值定理及L'Hospital法则111

5.1 微分中值定理111

5.2 L'Hospital法则118

习题2.5123

第六节 Taylor定理125

6.1 Taylor定理126

6.2 几个初等函数的Maclaurin公式129

6.3 Taylor公式的应用131

习题2.6132

第七节 函数性态的研究134

7.1 函数的单调性134

7.2 函数的极值136

7.3 函数的最大（小）值138

7.4 函数的凸性142

习题2.7145

第八节 平面曲线的曲率149

8.1 曲率的概念149

8.2 曲率的计算151

8.3 曲率半径与曲率中心153

习题2.8155

第2章习题156

综合练习题158

第3章 一元函数积分学及其应用160

第一节 定积分的概念与性质160

1.1 定积分问题举例160

1.2 定积分的定义162

1.3 定积分的性质165

习题3.1168

第二节 微积分基本公式与基本定理170

2.1 微积分基本公式170

2.2 微积分基本定理172

2.3 不定积分175

习题3.2177

第三节 两种基本积分法179

3.1 换元积分法179

3.2 分部积分法187

3.3 初等函数的积分问题192

习题3.3193

第四节 定积分的应用195

4.1 建立积分表达式的微元法196

4.2 定积分在几何中的应用举例197

4.3 定积分在物理中的应用举例204

习题3.4207

第五节 反常积分209

5.1 无穷区间上的积分209

5.2 无界函数的积分212

5.3 无穷区间上积分的审敛准则215

5.4 无界函数积分的审敛准则216

5.5 Γ函教218

习题3.5219

第六节 几类简单的微分方程221

6.1 几个基本概念222

6.2 可分离变量的一阶微分方程225

6.3 可用变量代换化为可分离变量方程的微分方程——齐次微分方程226

6.4 一阶线性微分方程228

6.5 可降阶的高阶微分方程232

6.6 微分方程应用举例234

习题3.6239

第3章习题241

综合练习题244

第4章 无穷级数245

第一节 常数项级数245

1.1 常数项级数的概念与性质245

1.2 正项级数的审敛准则250

1.3 变号级数的审敛准则255

习题4.1259

第二节 幂级数262

2.1 函数项级数的处处收敛性262

2.2 幂级数的收敛性及运算性质263

2.3 函数展开成幂级数270

2.4 幂级数的应用举例275

2.5 函数项级数的一致收敛性278

习题4.2285

第三节 Fourier级数287

3.1 周期函数与三角级数288

3.2 三角函数系的正交性与Fourier级数289

3.3 周期函数的Fourier展开291

3.4 定义在［0,l］上的函数的Fourier展开297

3.5 Fourier级数的复数形式299

习题4.3301

第4章习题302

综合练习题305

附录1 几种常用的曲线306

附录2 几类常用的初等数学公式310

附录3 复数简介312

部分习题答案与提示314