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第一部分 理论2

第1章 数学基础2

1.1 概率论基本知识2

1.1.1 联合界2

1.1.2 独立性2

1.1.3 二维随机变量3

1.1.4 马尔可夫、切比雪夫不等式和切尔诺夫界3

1.1.5 特征函数和傅里叶变换4

1.1.6 概率密度函数的拉普拉斯变换5

1.1.7 概率母函数5

1.2 独立的随机标量之和与中心极限定理6

1.3 独立的随机标量之和及几个典型的偏差不等式7

1.3.1 由概率界到期望界的转换8

1.3.2 Hoeffding不等式8

1.3.3 伯恩斯坦不等式9

1.4 概率论与矩阵分析11

1.4.1 特征值、迹以及埃尔米特矩阵之和11

1.4.2 半正定矩阵11

1.4.3 半正定矩阵的偏序12

1.4.4 矩阵函数f（A）的定义13

1.4.5 矩阵与向量的范数13

1.4.6 期望14

1.4.7 矩和尾概率16

1.4.8 随机向量与Jen8en不等式19

1.4.9 收敛19

1.4.10 独立的随机标量之和：切尔诺夫不等式19

1.4.11 随机矩阵的期望20

1.4.12 特征值和谱范数20

1.4.13 谱映射21

1.4.14 算子凸性与单调性22

1.4.15 矩阵函数之迹的单调性和凸性23

1.4.16 矩阵指数24

1.4.17 Golden-Thompson不等式24

1.4.18 矩阵对数25

1.4.19 量子相对熵和布雷格曼散度25

1.4.20 Lieb定理27

1.4.21 矩阵扩张28

1.4.22 半正定矩阵和偏序28

1.4.23 期望与半定序29

1.4.24 概率的矩阵表示29

1.4.25 等距性29

1.4.26 特征值的Courant-Fischer性质30

1.5 由非独立到独立的解耦30

1.6 随机矩阵的基础知识35

1.6.1 傅里叶法36

1.6.2 矩的方法36

1.6.3 复高斯随机矩阵的期望矩36

1.6.4 埃尔米特高斯随机矩阵HGRM（n，σ2）37

1.6.5 高斯随机矩阵GRM（m，n，σ2）39

1.7 亚高斯随机变量40

1.8 亚高斯随机向量42

1.9 亚指数随机变量43

1.10 g-网44

1.11 拉德马赫均值与对称化45

1.12 作用于亚高斯随机向量的算子47

1.13 随机过程的上确界49

1.14 伯努利序列50

1.15 由随机矩阵和到随机向量和的转换50

1.16 线性有界紧算子52

1.17 自伴随紧算子的谱53

第2章 矩阵值随机变量之和55

2.1 随机矩阵和的推导方法55

2.2 矩阵拉普拉斯变换方法56

2.2.1 方法1——Harvey推导56

2.2.2 方法2——Vershynin推导59

2.2.3 方法3——Oliveria推导60

2.2.4 方法4——Ahlswede-Winter推导61

2.2.5 方法5——Gross，Liu，Flammia，Becker以及Eisert68

2.2.6 方法6——Recht推导68

2.2.7 方法7——Wigderson和Xiao推导69

2.2.8 方法8——Tropp推导69

2.3 矩阵累积量的拉普拉斯变换方法69

2.4 矩母函数的不适用性70

2.5 矩阵累积量母函数的次可加性71

2.6 独立随机矩阵之和的尾概率界72

2.7 矩阵高斯级数——个例研究74

2.8 应用：具有非均匀方差的高斯矩阵76

2.9 期望控制76

2.10 随机半正定矩阵的和78

2.11 矩阵Bennett和伯恩斯坦不等式81

2.12 随机矩阵之和的所有特征值的尾概率界82

2.13 内部特征值的切尔诺夫界84

2.14 通过随机矩阵和完成线性滤波86

2.15 随机矩阵和的无维数限制不等式88

2.16 一些欣钦型不等式90

2.17 半正定矩阵的稀疏和93

第3章 测量的集中性94

3.1 测量的集中现象94

3.2 卡方分布95

3.3 随机向量的测量集中性96

3.4 Slepian-Fernique引理和高斯随机矩阵的测量集中性103

3.5 Dudley不等式105

3.6 诱导算子范数的集中107

3.7 高斯和Wishart随机矩阵的测量集中性112

3.8 算子范数的测量集中性117

3.9 高斯随机矩阵的测量集中性120

3.10 最大特征值的测量集中性123

3.10.1 Talagrand不等式方法124

3.10.2 链方法124

3.10.3 一般随机矩阵125

3.11 随机向量投影的测量集中性126

3.12 进一步讨论128

第4章 特征值及其函数的集中性129

4.1 特征值和范数的上确界表示129

4.2 特征值的利普希茨映射131

4.3 矩阵特征值和矩阵迹的平滑性及凸性132

4.4 矩阵函数的泰勒级数近似法137

4.5 Talagrand集中不等式140

4.6 维格纳随机矩阵的谱测度集中理论141

4.7 随机矩阵的非可交换多项式集中性144

4.8 Wishart随机矩阵的谱测度集中性145

4.9 两个随机矩阵和的集中性153

4.10 子矩阵的集中性154

4.11 矩方法154

4.12 迹函数的集中性158

4.13 特征值的集中性158

4.14 大随机矩阵函数的集中性：线性谱统计量159

4.15 二次型的集中性161

4.16 随机向量和子空间的距离167

4.17 斯蒂尔切斯变换域的随机矩阵集中性169

4.18 冯·诺依曼熵函数的集中性171

4.19 随机过程的上确界173

4.20 进一步讨论173

第5章 随机矩阵的局部非渐近性理论175

5.1 符号记法和基础知识175

5.2 迷向凸体176

5.3 对数凹的随机向量178

5.4 Rudelson定理179

5.5 行独立的样本协方差矩阵181

5.6 对数凹迷向随机向量的集中理论187

5.6.1 Paouris集中不等式187

5.6.2 非增重排及次序统计量189

5.6.3 样本协方差189

5.7 小球概率的集中不等式191

5.8 矩估计193

5.8.1 对数凹的迷向随机向量的矩194

5.8.2 凸测度的矩196

5.9 随机矩阵的大数定律198

5.10 低秩近似201

5.11 元素相互独立的随机矩阵203

5.12 具有独立行向量的随机矩阵204

5.12.1 独立的行204

5.12.2 重尾分布的行205

5.13 协方差矩阵的估计207

5.14 奇异值的集中性210

5.14.1 紧致小偏差211

5.14.2 高矩阵211

5.14.3 近似方阵211

5.14.4 方阵212

5.14.5 长方形矩阵212

5.14.6 随机矩阵和确定性矩阵的乘积213

5.14.7 随机矩阵的行列式215

5.15 随机矩阵的可逆性217

5.16 奇异值的普适性218

5.16.1 随机矩阵加确定的矩阵221

5.16.2 协方差矩阵和相关矩阵的普适性224

5.17 进一步讨论226

第6章 随机矩阵的全局渐近理论228

6.1 大随机矩阵228

6.2 极限分布律229

6.3 矩方法229

6.4 斯蒂尔切斯变换230

6.5 自由概率232

6.5.1 概念232

6.5.2 实际意义233

6.5.3 定义和基本性质234

6.5.4 自由独立性235

6.5.5 自由卷积236

6.6 斯蒂尔切斯，R和S变换表格237

第二部分 应用241

第7章 压缩感知与稀疏重构241

7.1 压缩感知241

7.2 JL引理与RIP条件243

7.3 结构化随机矩阵249

7.4 循环矩阵249

7.5 随机测量矩阵与确定性字典249

7.6 部分随机循环矩阵255

7.7 时频结构化矩阵260

7.8 混沌过程的上确界263

7.9 特普利茨随机矩阵265

7.10 确定性矩阵266

第8章 矩阵填充与低秩矩阵重构267

8.1 低秩矩阵恢复267

8.2 矩阵RIP性质268

8.3 重构误差限269

8.4 假设检验269

8.5 高维统计学270

8.6 矩阵压缩感知271

8.6.1 观测模型271

8.6.2 核范数正则化271

8.6.3 限制强凸性272

8.6.4 低秩矩阵重构的误差限272

8.7 线性回归275

8.8 多任务矩阵回归277

8.9 矩阵填充279

8.9.1 正交分解与正交投影279

8.9.2 矩阵填充280

8.10 冯·诺依曼熵惩罚与低秩矩阵预测282

8.10.1 系统模型282

8.10.2 基于正交基的采样283

8.10.3 低秩矩阵估计284

8.10.4 所用工具285

8.11 大量凸成分函数和285

8.12 基于矩阵填充的相位恢复287

8.12.1 方法学288

8.12.2 基于凸优化的矩阵恢复289

8.12.3 相位空间成像290

8.12.4 自相关RF断层成像291

8.13 进一步讨论296

第9章 高维协方差矩阵估计297

9.1 大局观：感知、通信、计算和控制297

9.1.1 接收信号强度（RSS）及其在异常检测中的应用299

9.1.2 非连续正交频分复用（NC-OFDM）波形及其在异常检测中的应用299

9.2 协方差矩阵估计300

9.2.1 经典协方差估计300

9.2.2 掩模化样本协方差矩阵301

9.2.3 平稳时间序列的协方差矩阵估计308

9.3 协方差矩阵估计309

9.4 协方差矩阵的部分估计310

9.5 无限维数据的协方差矩阵估计311

9.6 信号加噪声Y＝S＋X的矩阵模型312

9.7 鲁棒的协方差估计315

第10章 高维检测317

10.1 OFDM雷达317

10.2 主成分分析317

10.3 稀疏主成分319

10.4 基于随机矩阵之和的信息加噪模型320

10.5 矩阵假设检验321

10.6 随机矩阵检测322

10.7 稀疏备择假设的球形检验325

10.8 与随机矩阵理论的联系326

10.8.1 谱方法326

10.8.2 Wishart矩阵的低秩扰动327

10.9 稀疏的主成分检测327

10.9.1 κ稀疏最大特征值的集中不等式327

10.9.2 基于λκmax的假设检验328

10.9.3 稀疏特征值329

10.10 稀疏主成分检验的半定方法329

10.10.1 λκmax计算问题的半定松弛329

10.10.2 凸松弛的高概率界330

10.10.3 基于凸方法的假设检验330

10.11 稀疏向量估计331

10.12 高维向量检测332

10.13 高维匹配子空间检测335

10.14 基于压缩感知的高维向量子空间检测336

10.15 数据矩阵检测338

10.16 高维双样本检验339

10.17 与非可交换随机矩阵假设检验的联系342

第11章 概率约束的优化问题343

11.1 问题描述343

11.2 随机对称矩阵之和344

11.3 随机矩阵之和的应用349

11.4 机会约束的线性矩阵不等式354

11.5 概率约束的优化问题354

11.6 采用协同干扰机制的概率安全AF中继357

11.6.1 引言357

11.6.2 系统模型358

11.6.3 提出的方法361

11.6.4 仿真结果364

11.7 进一步讨论365

第12章 数据集的高效处理算法366

12.1 低秩矩阵近似366

12.2 矩阵算法的行采样367

12.3 近似矩阵乘法368

12.4 矩阵和张量稀疏化369

12.5 进一步讨论371

第13章 网络到大数据372

13.1 大数据的大随机矩阵372

13.2 高维假设检测实例373

13.3 认知无线电网络测试平台374

13.4 无线分布式计算375

13.5 数据收集376

13.6 数据存储与管理376

13.7 大数据集的数据挖掘377

13.8 无人飞行器对无线网络移动性的利用377

13.9 智能电网377

13.10 从认知无线电网络到复杂网络和随机图377

13.11 随机矩阵理论和集中测量377

参考文献379