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第1章 数学模型和数值方法引论1

1.1 数学模型及其建立方法与步骤1

1.1.1 数学模型1

1.1.2 人口增长模型1

目录1

1.1.3 建立数学模型的方法与步骤4

1.2 数学模型举例5

1.2.1 投入产出数学模型5

1.2.2 两物种群体竞争系统7

1.2.3 矿道中梯子问题8

1.4 数值计算的误差10

1.4.1 误差的来源与分类10

1.3 数值方法的研究对象10

1.4.2 误差与有效数字11

1.4.3 求函数值和算术运算的误差估计13

1.5 病态问题、数值稳定性与避免误差危害14

1.5.1 病态问题与条件数14

1.5.2 数值方法的稳定性15

1.5.3 避免误差危害17

1.6 线性代数的一些基础知识19

1.6.1 矩阵的特征值问题、相似变换19

1.6.2 线性空间和内积空间21

1.6.3 范数、线性赋范空间24

1.6.4 向量的范数和矩阵的范数26

1.6.5 几种常见矩阵的性质30

习题35

2.1 引论39

第2章 线性代数方程组的直接解法39

2.2 Gauss消去法40

2.2.1 顺序消去与回代过程40

2.2.2 顺序消去能实现的条件43

2.2.3 矩阵的三角分解44

2.2.4 列主元素消去法45

2.3 直接三角分解方法48

2.3.1 Doolittle分解方法48

2.3.2 三对角方程组的追赶法50

2.3.3 对称正定矩阵的Cholesky分解、平方根法52

2.4 矩阵的条件数与病态方程组57

2.4.1 扰动方程组、病态现象57

2.4.2 矩阵的条件数与扰动方程组的误差分析58

2.4.3 病态方程组的解法61

习题62

计算实习题64

第3章 线性代数方程组的迭代解法66

3.1 迭代法的基本概念66

3.1.1 引言66

3.1.2 向量序列和矩阵序列的极限68

3.1.3 迭代公式的构造71

3.1.4 迭代法的收敛性分析73

3.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法76

3.2.1 Jacobi迭代法76

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法76

3.2.3 J法和GS法的收敛性77

3.3 超松弛迭代法79

3.3.1 逐次超松弛迭代公式79

3.3.2 SOR迭代法的收敛性80

3.3.3 最优松弛因子81

3.3.4 模型问题几种迭代法的比较83

3.4 共轭梯度法84

3.4.1 与方程组等价的变分问题84

3.4.2 最速下降法85

3.4.3 共轭梯度法86

习题89

计算实习题91

第4章 非线性方程和方程组的数值解法93

4.1 引言93

4.2 二分法和试位法96

4.2.1 二分法96

4.2.2 试位法97

4.3.1 不动点和不动点迭代法98

4.3 不动点迭代法98

4.3.2 不动点迭代法在区间［a,b］的收敛性100

4.3.3 局部收敛性102

4.4 迭代加速收敛的方法104

4.4.1 Aitken加速方法104

4.4.2 Steffensen迭代方法105

4.5 Newton迭代法和割线法106

4.5.1 Newton迭代法的计算公式和收敛性106

4.5.2 Newton法的进一步讨论107

4.5.3 割线法110

4.6 非线性方程组的数值解法111

4.6.1 非线性方程组111

4.6.2 非线性方程组的不动点迭代法112

4.6.3 非线性方程组的Newton迭代法114

习题115

计算实习题116

第5章 矩阵特征值问题的计算方法118

5.1 矩阵特征值问题的性质118

5.1.1 矩阵特征值问题118

5.1.2 特征值的估计和扰动120

5.2 正交变换和矩阵分解121

5.2.1 Householder变换121

5.2.2 Givens变换124

5.2.3 矩阵的QR分解和Schur分解125

5.2.4 正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式129

5.3 幂迭代法和逆幂迭代法133

5.3.1 幂迭代法133

5.3.3 逆幂迭代法135

5.3.2 加速技巧135

5.4 QR方法的基本原理137

5.4.1 基本的QR迭代算法137

5.4.2 Hessenberg矩阵的QR方法139

5.4.3 带有原点位移的QR方法140

5.5 对称矩阵特征值问题的计算142

5.5.1 对称矩阵特征值问题的性质142

5.5.2 Rayleigh商的应用143

5.5.3 Jacobi方法144

习题148

计算实习题150

第6章 插值法151

6.1 Lagrange插值152

6.1.1 Lagrange插值多项式152

6.1.2 插值多项式的余项156

6.2.1 均差及其性质161

6.2 均差与Newton插值多项式161

6.2.2 Newton插值公式163

6.2.3 差分及其性质167

6.2.4 等距节点的Newton插值公式168

6.3 Hermite插值170

6.3.1 Hermite插值多项式171

6.3.2 重节点均差174

6.3.3 Newton形式的Hermite插值多项式175

6.4 分段低次插值方法178

6.4.1 Runge现象178

6.4.2 分段线性插值179

6.4.3 分段三次Hermite插值180

6.5 三次样条插值函数181

6.5.1 三次样条插值函数182

6.5.2 三次样条插值函数的计算方法183

6.5.3 三次样条插值函数的误差187

习题188

计算实习题189

第7章 函数逼近191

7.1 正交多项式192

7.1.1 正交多项式的概念及性质192

7.1.2 Legendre多项式194

7.1.3 Chebyshev多项式195

7.1.4 Chebyshev多项式零点插值196

7.1.5 Laguerre多项式199

7.1.6 Hermite多项式199

7.2 最佳平方逼近200

7.2.1 最佳平方逼近的概念及计算200

7.2.2 用正交函数组作最佳平方逼近203

7.2.3 用Legendre正交多项式作最佳平方逼近205

7.3 有理函数逼近206

7.3.1 有理分式207

7.3.2 Padé逼近207

7.3.3 连分式211

7.4 曲线拟合的最小二乘法212

7.4.1 最小二乘法及其计算212

7.4.2 线性化方法216

7.4.3 用正交多项式作最小二乘曲线拟合219

习题222

计算实习题223

第8章 数值积分与数值微分225

8.1.1 梯形公式和Simpson公式226

8.1　Newton-Cotes求积公式226

8.1.2 插值型求积公式230

8.1.3 代数精度231

8.1.4 Newton-Cotes求积公式232

8.1.5 开型Newton-Cotes求积公式234

8.1.6 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性236

8.2 复合求积公式237

8.2.1 复合梯形求积公式237

8.2.2 复合Simpson求积公式239

8.3 Romberg求积公式241

8.3.1 外推技巧241

8.3.2 Romberg求积公式243

8.4 自适应积分法245

8.5 Gauss型求积公式247

8.5.1 Gauss型求积公式249

8.5.2 Gauss型求积公式的稳定性与收敛性254

8.5.3 Gauss-Legendre求积公式256

8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式259

8.5.5 Gauss-Laguerre求积公式260

8.5.6 Gauss-Hermite求积公式261

8.6 数值微分262

8.6.1 Taylor展开构造数值微分263

8.6.2 插值型求导公式265

8.6.3 数值微分的外推算法268

8.6.4 高阶数值微分270

习题273

计算实习题275

第9章 常微分方程初值问题的数值解法276

9.1 引言276

9.2.1 显式Euler方法278

9.2 简单数值方法278

9.2.2 隐式Euler方法279

9.2.3 梯形方法280

9.2.4 预估-校正方法281

9.2.5 单步方法的截断误差283

9.3 Runge-Kutta方法286

9.3.1 用Taylor展开构造高阶数值方法286

9.3.2 Runge-Kutta方法288

9.3.3 高阶方法与隐式Runge-Kutta方法292

9.4 单步法的相容性、收敛性和绝对稳定性294

9.4.1 相容性294

9.4.2 收敛性295

9.4.3 绝对稳定性296

9.5.1 线性多步法的基本概念300

9.5 线性多步法300

9.5.2 Adams方法302

9.5.3 待定系数方法306

9.5.4 预估校正方法307

9.6 线性多步法的相容性、收敛性和绝对稳定性310

9.6.1 相容性310

9.6.2 收敛性310

9.6.3 绝对稳定性313

9.7 误差控制与变步长316

9.7.1 单步法316

9.7.2 线性多步法318

9.8 一阶方程组与刚性方程组320

9.8.1 一阶方程组320

9.8.3 刚性微分方程组324

9.8.2 高阶微分方程初值问题324

习题326

计算实习题327

附录 AMATLAB简介329

A.1 常数329

A.2 矩阵329

A.2.1 矩阵的形成329

A.2.2 矩阵运算331

A.2.3 数组运算331

A.3 函数332

A.3.1 内部函数332

A.3.2 用户定义的函数333

A.4 绘图333

A.5 编程335

部分习题的答案或提示337

参考文献353