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第一章 复数与平面点集1

§1 复数的概念1

1．复数1

2．复数的四则运算2

3．共轭复数绝对值3

4．复数的几何表示5

5．复数的幅角7

6．复数的乘方与开方9

7．复数球面与无穷远点12

§2 平面点集13

1．点集概念13

2．邻域内点界点外点聚点孤立点14

3．开集闭集有界集无界集15

4．区域曲线16

5．单连通区域复连通区域18

§3 序列覆盖定理点集的距离19

1．序列19

2．覆盖定理22

3．点集的距离23

第一章习题24

第二章 解析函数28

§1 复变函数28

1．复变函数的概念28

2．复变函数的极限和连续32

3．复变函数的导数与解析函数36

4．求导公式39

5．柯西——黎曼条件41

§2 初等解析函数46

1．指数函数47

2．三角函数48

3．双曲函数51

4．根式函数55

5．对数函数61

6．反三角函数和反双曲线函数66

§3 调和函数69

第二章习题73

第三章 复变函数的积分77

§1 复变函数积分概念77

1．复变函数积分概念77

2．积分的基本性质80

3．沿逐段光滑曲线C的积分计算82

§2 柯西积分定理84

1．柯西积分定理84

2．柯西积分定理在复连通区域的推广91

3．不定积分93

1．柯西积分公式95

§3 柯西积分公式95

2．解析函数的各阶导数98

3．柯西不等式103

§4 ＊调和函数的中值定理与波阿松积分公式105

第三章习题107

第四章 解析函数的级数展式112

§1 函数项级数112

1．复数项级数112

2．函数项级数113

§2 幂级数119

1．幂级数的收敛圆120

2．和函数的解析性124

§3 解析函数的泰勒展式124

1．解析函数的泰勒（Taylor）展式124

2．一些初等函数的泰勒展式127

3．零点的孤立性与唯一性定理129

4．最大模原理133

§4 解析函数的罗朗（Laurent）展式135

§5 解析函数的孤立奇点144

1．孤立奇点的概念144

2．f（z）在孤立奇点z0邻域内的性质145

§6整函数与亚纯函数152

1．整函数152

2．亚纯函数154

第四章习题155

第五章 留数160

§1 留数160

1．留数的概念160

2．留数的计算161

3．无穷远点的留数163

4．留数基本定理165

§2 幅角原理167

§3 应用留数计算积分173

第五章习题178

第六章 无穷乘积181

§1 无穷乘积181

1．无穷乘积的收敛与发散181

2．无穷乘积收敛性的基本判别法183

§2 函数项的无穷乘积186

§3 整函数的无穷乘积展式189

1．整函数的无穷乘积展式189

2．把亚纯函数表示为两个整函数之比199

第六章习题199

第七章 解析开拓201

§1 解析开拓的原理201

1．解析开拓的概念201

2．用幂级数作解析开拓203

3．越过区域边界的解析开拓206

1．一般解析函数与完全解析函数212

§2 完全解析函数212

2．多值解析函数及其单值解析分支214

§3 多值解析函数相应的黎曼曲面219

第七章习题223

第八章 共形映照227

§1 共形映照的概念227

1．解析函数的几个有关性质227

2．导数的几何意义229

3．共形映照的概念233

§2 分式线性函数235

1．分式线性函数的分解及其共形性235

2．分式线性函数的保圆性236

3．分式线性函数的保交比性237

4．分式线性函数的保对称点性239

5．几个重要的分式线性函数240

1．指数函数w＝ez241

§3 一些初等函数所形成的共形映照241

2．对数函数w＝Logz的单值解析分支242

3．幂函数w＝zα（α为非整数的正数）242

4．儒科夫斯基函数w＝R（z）＝？（z＋？）244

5．儒科夫斯基函数的反函数w＝R-1（z）的单值解析分支246

§4 共形映照的基本定理246

1．黎曼映照定理246

2．共形映照的边界对应定理251

3．实例254

§5 多角形映照公式260

1．克利斯托弗—希瓦尔兹公式260

2．退化情形269

第八章习题271

附录275

习题答案与提示275