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1　复数与复变函数1

1.1　复数及其运算1

1.1.1 复数的概念1

1.1.2 复平面1

1.1.3　复数的四则运算4

1.1.4　复数的乘幂与开方7

1.1.5　复球面与无穷远点9

1.2　平面点集的一般概念9

1.2.1 区域9

1.2.2 平面曲线10

1.3　复变函数12

1.3.1 复变函数的概念12

1.3.2　复变函数的极限与连续14

1.3.3 复变函数的导数与微分16

习题一18

2　解析函数20

2.1　解析函数的概念与柯西-黎曼方程20

2.1.1 解析函数的概念20

2.1.2　柯西-黎曼方程21

2.2　初等函数及其解析性25

2.2.1 指数函数25

2.2.2　对数函数26

2.2.3 幂函数27

2.2.4　三角函数和反三角函数28

2.2.5 双曲函数与反双曲函数30

2.3　解析函数与调和函数的关系31

习题二35

3　复变函数的积分37

3.1　复变函数积分的概念37

3.1.1 复变函数积分的定义37

3.1.2 复变函数积分的存在条件38

3.1.3 复变函数积分的基本性质38

3.1.4 复变函数积分的计算39

3.2　柯西积分定理41

3.2.1　柯西积分定理41

3.2.2 变上限积分与原函数43

3.3　复合闭路定理45

3.4　柯西积分公式46

3.4.1　柯西积分公式47

3.4.2 高阶求导公式48

习题三51

阶段复习题一53

4 解析函数的幂级数表示56

4.1　复级数的基本概念56

4.1.1 复数列的极限56

4.1.2　复数项级数56

4.1.3　复变函数项级数58

4.2　幂级数59

4.2.1 幂级数的收敛性59

4.2.2　幂级数的运算和性质62

4.3　解析函数的泰勒展开63

4.3.1 泰勒（Taylor）定理63

4.3.2 解析函数的泰勒展开法65

4.4　洛朗级数68

4.4.1　洛朗级数的概念69

4.4.2 解析函数的洛朗展开70

习题四75

5　留数及其应用77

5.1 孤立奇点77

5.1.1 孤立奇点的三种类型77

5.1.2　极点和零点的关系80

5.1.3 函数在无穷远点的性质82

5.2 留数83

5.2.1 留数的定义83

5.2.2　极点处留数的计算84

5.2.3 留数定理86

5.2.4 函数在无穷远点的留数90

5.3　利用留数计算实积分93

5.3.1 形如？R（cosθ，sinθ）dθ的积分93

5.3.2 形如？R(x)dx的积分95

5.3.3　形如？R(x)eiαx dx（α＞0）的积分96

习题五100

6 共形映射102

6.1　共形映射的概念102

6.1.1 解析函数的导数的几何意义102

6.1.2　共形映射的定义104

6.2　分式线性映射105

6.2.1 分式线性映射及其分解105

6.2.2　分式线性映射的几何性质107

6.2.3 分式线性映射的确定109

6.3　几种常见的分式线性映射112

6.3.1 把上半平面映射成上半平面的分式线性映射112

6.3.2　把上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射112

6.3.3 把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射115

6.4　几个初等函数构成的映射116

6.4.1 幂函数与根值函数116

6.4.2　指数函数和对数函数120

习题六122

阶段复习题二123

7 Fourier变换126

7.1 Fourier积分公式126

7.2 Fourier变换130

7.2.1 Fourier变换的概念130

7.2.2 Fourier变换的物理定义——非周期函数的频谱133

7.3 δ函数及其Fourier变换136

7.3.1 δ函数的定义和性质137

7.3.2 δ函数的Fourier变换138

7.4 Fourier变换的性质140

7.4.1 线性性质140

7.4.2　位移性质141

7.4.3　微分性质142

7.4.4　像函数的微分性质143

7.4.5 积分性质144

7.4.6 对称性质145

7.4.7　相似性质145

7.5 Fourier变换的卷积性质146

习题七150

8 Laplace变换152

8.1 Laplace变换的概念152

8.1.1 Laplace变换的定义152

8.1.2 Laplace变换存在的条件154

8.1.3 周期函数的Laplace变换157

8.2 Laplace变换的性质158

8.2.1 线性性质158

8.2.2 相似性质158

8.2.3　微分性质159

8.2.4 积分性质160

8.2.5 位移性质163

8.2.6 延迟性质163

8.3 Laplace逆变换164

8.3.1　反演积分公式165

8.3.2 Laplace逆变换的计算165

8.4　卷积168

8.4.1 卷积的定义168

8.4.2 卷积定理169

8.5 Laplace变换的应用170

8.5.1 求解常系数的常微分方程170

8.5.2 求解常系数线性微分方程组173

8.5.3　解微分积分方程175

习题八177

阶段复习题三179

模拟试卷（一）183

模拟试卷（二）185

习题参考答案187

附录一 Fourier变换简表198

附录二　Laplace变换简表201

参考文献206