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第1章函数、极限、连续1

问题1.1如何理解复合函数概念，怎样求分段函数的复合函数？1

问题1.2函数y＝f（x）满足什么条件时具有反函数，如何求分段函数的反函数？2

问题1.3数列极限定义中的ε、N应如何理解？3

问题1.4若数列｛un｝收敛，则数列｛u2n－1｝，｛u2n｝，｛u2n－1＋u2n｝，｛｜un｜｝是否收敛？反之，若数列｛u2n－1｝，｛u2n｝皆收敛，那么｛un｝是否必收敛？又若｛u2n－1＋u2n｝收敛，｛un｝是否收敛？若｛｜un｜｝收敛，｛un｝是否必收敛？4

问题1.5已给数列｛un｝及｛vn｝，若数列｛unvn｝收敛，且？unvn＝0，则下列论述是否正确？5

（1）若｛un｝发散，则｛vn｝必收敛于0，即必有？vn＝0．5

（2）若｛un｝收敛，且？un＝0，则｛vn｝必为有界数列．5

（3）若｛un｝收敛，且？un＝0，则｛vn｝必收敛．5

（4）若｛un｝收敛，且？un＝a（a≠0），则｛vn｝必收敛，且？vn＝0．5

问题1.6极限四则运算法则在什么条件下成立？5

问题1.7收敛数列、有界数列、发散数列、无界数列、无穷大量，这几个概念之间是什么关系？6

问题1.8如何求数列｛un｝的极限？6

问题1.9如何理解函数的极限？f（x）＝A及？f（x）＝A的定义？如何利用数列的极限描述函数的极限？8

问题1.10左、右极限在求极限时起什么作用？何时要考虑左、右极限？9

问题1.11如何求复合函数的极限？10

问题1.12无穷小量、无穷大量、函数有极限、有界函数、无界函数，这几个概念之间有什么关系？11

问题1.13如何理解无穷小的阶与等价无穷小的概念？在用等价无穷小的代11

换定理求极限时应注意什么？11

问题1.14怎样理解函数的连续性概念与间断点概念？13

第2章一元函数微分学14

问题2.1如何正确理解导数的定义？14

问题2.2如何研究分段函数的可导性？15

问题2.3分段函数f（x）在分段点x0处的左、右导数f′－（x0）、f′＋（x0）与？f′（x）、？f′（x）有什么关系？17

问题2.4奇、偶函数的导数分别为偶、奇函数，周期函数的导数仍为周期函数，这样的结论正确吗？18

问题2.5如何求函数的高阶导数？19

问题2.6函数y＝f（x）在点x处的微分dy与函数f（x）在点x处的增量△y是什么关系？23

问题2.7如何利用微分中值定理研究函数的性态？24

问题2.8在用罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理证明函数与导数之间的关系时，常常要考虑应选用哪个定理，并时常要构造辅助函数，这是证明的难点，应如何处理，有什么规律可循？26

问题2.9用洛必达法则求未定式的值应注意哪些问题？28

问题2.10如何正确使用等价无穷小的代换定理？它在求极限中有什么作用？31

问题2.11确定方程f（x）＝0的实根个数有哪些方法？33

问题2.12如何利用中值定理及函数的性态证明不等式？有哪些方法？35

问题2.13连续函数f（x）在区间［a，b］上的最大（小）值与函数f（x）在［a，b］上的极值之间有什么关系？37

问题2.14如何求曲线y＝f（x）的渐近线？38

第3章一元函数积分学41

问题3.1原函数与不定积分的定义中为什么要特别指明一个区间I？41

问题3.2原函数的存在定理指出，若函数f（x）连续，则f（x）的原函数F（x）必存在．f（x）在点x＝x0处不连续是否意味着F（x0）不存在？42

问题3.3偶函数的原函数是否必为奇函数？奇函数的原函数是否必为偶函数？周期函数的原函数是否必为周期函数？42

问题3.4如何求分段函数的原函数？应注意什么问题？43

问题3.5在求积分时如何选择两类换元法？44

问题3.6哪些函数的积分需用分部积分法？当用分部积分法∫udv＝uv-48

∫vdu求积分时，如何选择u与dv？48

问题3.7有理函数的积分主要是将其化为部分分式，即最简分式，再用换元法求积分．三角函数有理式的积分，主要是靠置换式tan？＝u，将其化为有理函数的积分．是否这两类函数的积分必须按这种方法来处理？52

问题3.8定积分概念是如何引出的？其中要点是什么？56

问题3.9试问：函数的定积分存在与原函数存在之间的关系？58

问题3.10求变上限积分所确定的函数的导数，应注意什么问题？59

问题3.11如何利用牛顿—莱布尼茨公式计算分段函数的定积分？61

问题3.12用换元法计算定积分要注意什么问题？63

问题3.13在计算周期函数的定积分时，如何利用周期函数的定积分性质？66

问题3.14如何证明含有积分的不等式？68

问题3.15在计算广义积分时应注意哪些问题？72

问题3.16如何运用定积分解决实际问题？应注意什么？75

第4章向量代数与空间解析几何79

问题4.1在作向量的和（差）、数与向量的乘积、数量积与向量积运算时应注意什么问题？79

问题4.2如何判定向量之间的关系，如二向量平行、垂直、三向量共面等？80

问题4.3如何用向量证明几何问题？82

问题4.4平面方程有几种形式？怎样依据已给条件求平面方程？83

问题4.5空间直线方程有几种形式？如何确定一条直线的方程？85

问题4.6怎样求旋转曲面的方程？88

第5章多元函数微分学90

问题5.1二元函数的极限定义与一元函数的极限定义有什么不同？应注意什么问题？90

问题5.2求？f（x，y），能否先将x视为常量求？f（x，y），若此极限存在，则必为x的函数，再令x→x0求该函数极限，即求？［？f（x，y）］或求？［？f（x，y）］92

问题5.3如何求二元函数的极限？93

问题5.4二元函数可导、可微与连续之间有何关系？95

问题5.5二元函数的可导与可微之间是什么关系？96

问题5.6若二元函数z＝f（u，v）可导，u＝ψ（x，y），v＝ψ（x，y）可导，能否97

断言复合函数g＝f（ψ（x，y），ψ（x，y））可导？97

问题5.7多元复合函数有多种不同结构，在求复合函数的偏导数，特别是求高阶偏导数时要注意什么问题？98

问题5.8如何求多元复合函数的全微分，微分形式不变性在求复合函数全微分时有什么作用？102

问题5.9如何求隐函数的偏导数？104

问题5.10如何求隐函数的二阶导数？106

问题5.11二元函数的偏导数与方向导数有什么联系？109

问题5.12函数的全微分存在与函数有任意方向的方向导数是什么关系？110

问题5.13如何求多元函数在有界闭域上的最大值与最小值？111

第6章多元函数积分学112

问题6.1将二重积分化为二次积分计算应注意什么问题？112

问题6.2在什么情况下采用极坐标计算二重积分，应注意什么问题？114

问题6.3在计算二重积分时如何利用积分域与被积函数的对称性简化计算？115

问题6.4如何用二重积分处理某些定积分问题？118

问题6.5将三重积分化为二重积分及定积分计算有哪些方法，应如何选择积分次序？119

问题6.6计算三重积分何时采用柱面坐标或球面坐标？又怎样确定积分次序与积分限？122

问题6.7怎样用三重积分解决定积分的相关问题？125

问题6.8能用重积分解决的实际问题有什么特点？128

问题6.9曲线积分概念与定积分概念有什么联系，它们的不同点是什么？129

问题6.10将曲线积分化为定积分计算时应注意什么问题？129

问题6.11曲面积分概念与二重积分概念有什么联系？134

问题6.12将两类曲面积分化为二重积分时，应注意什么问题？135

问题6.13在平面曲线积分的计算中，如何正确使用格林公式？139

问题6.14如何正确运用高斯公式计算曲面积分？141

问题6.15斯托克斯公式建立了沿曲线Γ的曲线积分与以Γ为边界的曲面∑上的曲面积分的关系，公式的成立是否与∑的选取有关？144

问题6.16在什么情况下用斯托克斯公式计算空间曲线积分可以简化计算？144

问题6.17格林公式与高斯公式、斯托克斯公式有什么联系？在线面积分中起什么作用？146

问题6.18牛顿—莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，149

它们之间有什么联系？有什么共同点？149

第7章级数152

问题7.1判断正项级数的敛散性有多种准则，哪一类级数该用什么准则去判断，有什么规律可循？152

问题7.2如何判断任意项级数的敛散性？154

问题7.3若级数不满足审敛准则的条件，是否可以断言级数必发散？156

问题7.4能否利用级数的敛散性判断数列的敛散性？158

问题7.5加法运算的满足的规律，对于无穷级数是否仍成立？在什么条件下成立？159

问题7.6条件收敛级数与绝对收敛级数的本质差异是什么？161

问题7.7如何求幂级数的收敛域？162

问题7.8如何求幂级数的和函数？164

问题7.9如何利用幂级数求数项级数的和？167

问题7.10函数f（x）具备什么条件可以展开成幂级数？169

问题7.11用间接展开法将函数展成幂级数，应注意什么问题？170

问题7.12在区间［a，b］上给出函数f（x），如何将其展成以b-a为周期的傅里叶级数？171

问题7.13定义在半区间［0，ι］上的函数f（x）能否展成既含余弦项又含正弦项的三角级数？174

第8章常微分方程176

问题8.1微分方程的通解是否是指微分方程的一切解的全体？176

问题8.2在求微分方程的通解时，是否会失去方程的一些解？177

问题8.3解全微分方程有哪些方法？178

问题8.4线性微分方程的特点是什么？如何借助线性微分方程的特点求出方程的通解？181

问题8.5已知微分方程的通解，如何求微分方程？185

问题8.6对于未知函数出现在积分号下的方程如何求解？187

问题8.7解微分方程的关键是什么？189

问题8.8解一阶线性微分方程组时应注意什么问题？194