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第1章 极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 预备知识1

1.1.2 映射4

1.1.3 函数6

1.1.4 初等函数11

1.1.5 双曲函数与反双曲函数14

习题1.115

1.2 数列的极限16

1.2.1 引例（割圆术）16

1.2.2 数列的概念17

1.2.3 数列极限的概念17

1.2.4 收敛数列的性质20

1.2.5 子数列的概念21

习题1.222

1.3 函数的极限22

1.3.1 函数极限的概念23

1.3.2 函数极限的性质27

1.3.3 函数极限与数列极限的关系28

习题1.329

1.4 无穷小量与无穷大量29

1.4.1 无穷小量30

1.4.2 无穷大量32

习题1.434

1.5 极限运算法则35

1.5.1 极限的四则运算法则35

1.5.2 复合函数的极限运算法则38

习题1.540

1.6 极限存在准则 两个重要极限41

1.6.1 准则Ⅰ：夹逼准则41

1.6.2 准则Ⅱ：单调有界收敛准则44

习题1.648

1.7 无穷小的比较49

1.7.1 无穷小的比较49

1.7.2 无穷小的阶50

1.7.3 等价无穷小的应用51

习题1.752

1.8 函数的连续性与间断点53

1.8.1 函数的连续性53

1.8.2 初等函数的连续性55

1.8.3 函数的间断点及其分类59

习题1.862

1.9 闭区间上连续函数的性质63

习题1.965

1.10 本章小结66

1.10.1 基本要求66

1.10.2 内容提要66

1.11 总习题167

第2章 导数与微分70

2.1 导数的定义70

2.1.1 引例70

2.1.2 导数的定义71

2.1.3 求导举例72

2.1.4 导数的几何意义75

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系77

习题2.178

2.2 求导法则79

2.2.1 函数的和、差、积、商求导法则79

2.2.2 反函数的求导法则81

2.2.3 复合函数的求导法则82

2.2.4 基本求导法则与导数公式84

2.2.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数86

习题2.290

2.3 高阶导数及相关变化率91

2.3.1 高阶导数91

2.3.2 相关变化率96

习题2.398

2.4 微分99

2.4.1 微分的概念99

2.4.2 微分的运算法则及基本公式102

2.4.3 高阶微分104

习题2.4105

2.5 本章小结106

2.5.1 基本要求106

2.5.2 内容提要106

2.6 总习题2107

第3章 微分中值定理与导数的应用110

3.1 微分中值定理110

3.1.1 费马（Fermat）引理110

3.1.2 罗尔（Rolle）定理111

3.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理112

3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理114

习题3.1116

3.2 洛必达（L'Hospital）法则117

3.2.1 0/0型极限117

3.2.2 ∞/∞型极限119

3.2.3 0·∞,∞-∞,00,∞0,1∞型极限120

习题3.2122

3.3 泰勒（Taylor）公式123

3.3.1 泰勒多项式123

3.3.2 泰勒中值定理124

3.3.3 基本初等函数的麦克劳林公式126

习题3.3129

3.4 函数的单调性和极值130

3.4.1 函数单调性的判定方法130

3.4.2 函数的极值132

3.4.3 函数的最值135

习题3.4138

3.5 函数图形的描绘139

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点139

3.5.2 曲线的渐近线142

3.5.3 函数的作图143

习题3.5145

3.6 平面曲线的曲率146

3.6.1 弧微分146

3.6.2 曲率及其计算公式147

3.6.3 曲率圆和曲率半径148

习题3.6149

3.7 本章小结149

3.7.1 基本要求149

3.7.2 内容提要150

3.8 总习题3151

第4章 不定积分153

4.1 不定积分的概念与性质153

4.1.1 原函数的概念153

4.1.2 不定积分的概念154

4.1.3 基本积分公式156

4.1.4 不定积分的基本运算法则156

习题4.1159

4.2 换元积分法159

4.2.1 第一类换元法（凑微分法）159

4.2.2 第二类换元法165

习题4.2170

4.3 分部积分法171

习题4.3176

4.4 有理函数和可化为有理函数的积分177

4.4.1 有理函数的积分177

4.4.2 可化为有理函数的积分181

习题4.4184

4.5 本章小结184

4.5.1 基本要求184

4.5.2 内容提要185

4.6 总习题4186

第5章 定积分及其应用188

5.1 定积分的概念188

5.1.1 引例188

5.1.2 定积分的概念190

5.1.3 定积分的几何意义193

习题5.1194

5.2 定积分的性质195

习题5.2199

5.3 微积分基本定理200

5.3.1 积分变上限函数及其导数201

5.3.2 微积分的基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）204

习题5.3205

5.4 定积分的换元法与分部积分法207

5.4.1 定积分的换元积分法207

5.4.2 定积分的分部积分法212

习题5.4215

5.5 广义积分216

5.5.1 无穷区间上的广义积分216

5.5.2 无界函数的广义积分218

5.5.3 非负函数广义积分的判敛法则220

习题5.5222

5.6 定积分的几何应用223

5.6.1 微元法基本思想223

5.6.2 平面图形的面积224

5.6.3 体积228

5.6.4 平面曲线的弧长230

习题5.6232

5.7 定积分的物理应用233

5.7.1 变力沿直线做功233

5.7.2 液体对薄板的侧压力235

5.7.3 引力235

习题5.7236

5.8 本章小结237

5.8.1 基本要求237

5.8.2 内容提要237

5.9 总习题5240

第6章 常微分方程243

6.1 微分方程的基本概念243

6.1.1 引例243

6.1.2 微分方程的概念244

6.1.3 微分方程的解245

习题6.1246

6.2 一阶微分方程247

6.2.1 可分离变量的微分方程248

6.2.2 一阶线性微分方程251

6.2.3 几类可降阶的高阶微分方程255

习题6.2259

6.3 高阶线性微分方程261

6.3.1 高阶线性微分方程解的结构261

6.3.2 常系数线性微分方程264

6.3.3 欧拉（Euler）方程275

习题6.3277

6.4 微分方程的应用279

习题6.4286

6.5 本章小结287

6.5.1 基本要求287

6.5.2 内容提要287

6.6 总习题6289

习题参考答案与提示291

参考书目314