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专题一 物理量的量纲分析1

第一章 理论基础3

1.物理量的量纲（初步知识）3

1.1.测量、测量单位、测量过程3

1.2.基本单位和导出单位3

1.3.相互关联和相互独立的单位4

2.物理量的量纲公式4

2.1.当基本单位的大小变化时物理量的数值的变化4

2.2.关于同型物理量的测量值之比的不变性假设5

2.3.物理量在给定基底下的量纲函数和量纲公式6

3.量纲理论的基本定理8

3.1. Ⅱ-定理8

3.2.相似原理10

第二章 应用实例11

1.物体沿圆形轨道运动的回转周期（相似律）11

2.引力常数，开普勒第三定律和牛顿万有引力定律中的幂指数12

3.重力摆的振动周期13

4.溢流堰的体积流量和质量流量14

5.球在无黏介质中运动时受到的阻力15

6.球在黏性介质中运动时受到的阻力16

7.练习17

8.评注20

第三章 进一步的应用：流体动力学和湍流22

1.流体动力学方程组（一般知识）22

2.流动失稳以及动力系统中的分岔现象25

3.湍流（初步认识）26

4.柯尔莫戈洛夫模型26

4.1.湍流运动的多尺度性26

4.2.充分发展湍流与惯性区28

4.3.比能28

4.4.给定尺度流动的雷诺数29

4.5.柯尔莫戈洛夫——奥布霍夫定律29

4.6.湍流的内尺度30

4.7.湍流涨落的能谱30

4.8.湍流混合与粒子分散31

专题二 高维几何和自变量极多的函数33

第一章 自变量极多的函数在自然科学和技术领域中的例子35

1.信号的数字记录（代码-脉冲调制）35

1.1.线性装置及其数学描述（卷积）35

1.2.线性装置的傅里叶对偶（谱）描述36

1.3.具有限谱集的函数和装置37

1.4.理想滤波器及其脉冲响应函数38

1.5.读数定理（科捷利尼科夫—香农定理）39

1.6.信号的编码—脉冲调制40

1.7.理想通信通道的通过能力40

1.8.电视信号的维数的估计41

2.涉及多参数现象和高维空间的其他研究领域41

2.1.物质的分子理论41

2.2.经典哈密顿力学中的相空间42

2.3.吉布斯热力学系综42

2.4.概率论42

第二章 集聚原理及其表现43

1.欧几里得空间Rn（n＞＞1）中的球和球面43

1.1.当n→∞时球体积的集聚43

1.2.热力学极限43

1.3.球面面积的集聚44

1.4.等周不等式及极高维球面上的函数47

2.一些评注49

2.1.各种中值49

2.2.高维方体与集聚原理50

2.3.集聚原理、热力学、遍历性51

2.4.集聚原理和极限分布52

第三章 存在噪声情况下的通信53

1.连续信号的离散记法—具体化53

1.1.信号的能量和平均强度53

1.2.按水平量子化55

1.3.理想的多水平通信管道55

1.4.噪声（白噪声）56

2.具噪声的通信管道的通过能力56

2.1.具噪声的通信管道的通过能力的粗略估计56

2.2.信号的几何和噪声57

2.3.香农定理58

3.香农定理的讨论、例子和补充60

3.1.香农的评述60

3.2.强噪声下的弱信号61

3.3.语言冗余62

3.4.用粗糙仪器作精细的测量62

3.5.香农-法诺码63

3.6.最优码的统计特点63

3.7.编码和解码——ε-熵和δ-容量64

4.具噪声的通信管道的数学模型66

4.1.最简单的模型和问题的提法66

4.2.信息和熵（初步研究）68

4.3.条件熵和信息70

4.4.对具噪声的通信管道内的信息丢失的解释73

4.5.抽象通信管道的通过能力的计算74

专题三 经典热力学与接触几何学77

第一章 经典热力学（基本知识）79

1.两个热力学定律79

1.1.能量和永动机79

1.2.第二类永动机和熵80

2.两个热力学定律的数学表述81

2.1.热交换的微分形式83

2.2.用微分形式语言表示的两个热力学定律84

2.3.没有热的热力学86

2.4.绝热过程和卡拉泰奥多里公理86

第二章 热力学和接触几何89

1.接触分布89

1.1.绝热过程和接触分布89

1.2.形式化90

2.分布的可积性90

2.1.弗罗贝尼乌斯定理90

2.2.可积性、可连接性、可控性91

2.3.卡诺-卡拉泰奥多里度量93

2.4.吉布斯接触形式94

2.5.注释95

第三章 经典热力学和统计热力学97

1.动理学理论97

1.1.分子与压强97

1.2.麦克斯韦分布98

1.3.玻尔兹曼定义的熵98

1.4.吉布斯系综和力学的热力学化99

1.5.遍历性100

1.6.悖论、问题、困难102

2.量子统计热力学（三言两语）105

2.1.状态的计算和条件极值105

2.2.注释和补充108

参考文献116

附录 数学语言和数学方法136