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目录1

第1章 预备知识1

1.1 数值计算方法引论1

1.2 误差3

1.2.1 科学计算问题中误差的来源3

1.2.2 误差的估计方式3

1.3 算法的数值稳定性6

1.4 向量和矩阵的范数7

习题一10

第2章 一元非线性方程的解法12

2.1 二分法12

2.2 迭代法14

2.2.1 迭代法及其几何意义14

2.2.2 迭代法的收敛条件及误差估计16

2.2.3 局部收敛性与迭代法收敛的阶18

2.3 牛顿（Newton）迭代法20

2.3.1 牛顿迭代法20

2.3.2 牛顿迭代法的收敛速度21

2.3.3 牛顿下山法22

2.4 弦截法（割线法）23

2.5 埃特金（Aitken）迭代法24

习题二25

第3章 线性代数方程组的解法27

3.1 简单迭代法的一般形式27

3.2 雅可比（Jacobi）迭代法和高斯－赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法29

3.3 超松弛（SOR）迭代法33

3.4 顺序高斯消去法34

3.4.1 顺序高斯消去法的计算过程35

3.4.2 顺序高斯消去法的适用条件38

3.5 选主元高斯消去法39

3.6 用消去法计算行列式和逆矩阵41

3.7 追赶法42

3.8 三角分解法43

3.8.1 矩阵的三角分解43

3.8.2 用三角分解法解方程组45

3.9 线性方程组的最小二乘解48

3.1 0方程组的性态及条件数49

习题三50

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算54

4.1 幂法和反幂法54

4.1.1 幂法54

4.1.2 Aitken加速技术56

4.1.3 反幂法57

4.2 QR方法58

习题四59

第5章 插值法和曲线拟合61

5.1 插值法的基本理论61

5.1.1 插值问题及代数多项式插值61

5.1.2 插值多项式的误差62

5.2 拉格朗日插值多项式63

5.2.1 线性插值63

5.2.2 二次插值64

5.2.3 n次拉格朗日插值65

5.3 牛顿均差插值多项式66

5.3.1 均差概念及计算66

5.3.2 牛顿型插值多项式67

5.3.3 差分及等距基点的牛顿插值公式69

5.4 三次Hermite插值70

5.5 三次样条插值73

5.5.1 三次样条插值函数的概念73

5.5.2 三弯矩法74

5.5.3 三转角法77

5.6 B样条曲线77

5.6.1 B样条函数77

5.6.2 B样条曲线78

5.7 曲线拟合的最小二乘法81

习题五84

第6章 数值积分87

6.1 数值积分公式的构造和它的代数精度87

6.2.1 公式的构造89

6.2 牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）求积公式89

6.2.2 几个低阶求积公式90

6.3 复合求积公式93

6.3.1 复合梯形公式及其误差93

6.3.2 复合抛物线公式及其误差94

6.4 龙贝格（Romberg）求积法95

6.4.1 变步长的梯形公式95

6.4.2 龙贝格（Romberg）求积公式96

6.5 高斯（Gauss）求积公式98

6.5.1 高斯（Gauss）求积公式的定义98

6.5.2 高斯（Gauss）求积公式的构造98

6.6 数值微分100

6.6.1 中点方法100

6.6.2 插值型求导公式101

习题六102

第7章 常微分方程数值解法104

7.1 数值解法的构造途径104

7.1.1 用差商代替导数104

7.1.2 数值积分法105

7.1.3 泰勒（Taylor）级数法105

7.2 欧拉法和改进的欧拉法106

7.2.1 欧拉（Euler）法106

7.2.2 欧拉法的局部截断误差108

7.2.3 改进的欧拉法109

7.3 龙格－库塔（Runge-Kutta）法110

7.3.1 二阶龙格－库塔公式110

7.3.2 三阶和四阶龙格－库塔公式111

7.4 单步法的收敛性和稳定性112

7.4.1 单步法的收敛性113

7.4.2 单步法的稳定性114

7.5 线性多步法115

7.5.1 阿达姆斯外插公式115

7.5.2 阿达姆斯内插公式116

7.5.3 阿达姆斯预测－校正公式117

7.6 一阶常微分方程组与高阶方程118

7.6.1 一阶常微分方程组118

7.6.2 高阶常微分方程119

习题七120

附录A 实验参考程序122

附录B 用MATLAB进行数值计算134

附录C 部分习题答案146

参考文献150