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第1章 命题逻辑1

1.1 命题及联结词1

1.1.1 命题1

1.1.2 命题联结词2

1.2 命题公式及其分类5

1.2.1 命题公式6

1.2.2 命题公式的解释与真值表7

1.2.3 命题公式的分类8

1.2.4 命题公式的基本等价关系10

1.3 命题公式的范式13

1.3.1 析取范式和合取范式14

1.3.2 主析取范式和主合取范式14

1.4 命题逻辑推理与证明技术18

1.4.1 形式推理18

1.4.2 推理规则18

1.4.3 判定有效性的方法19

1.5 其他联结词21

1.6 命题逻辑的应用22

习题126

第2章 谓词逻辑28

2.1 谓词逻辑的基本概念28

2.1.1 个体词与谓词28

2.1.2 量词30

2.1.3 谓词的翻译31

2.2 谓词公式与解释32

2.2.1 谓词的合式公式32

2.2.2 自由变元和约束变元33

2.2.3 谓词公式的解释34

2.2.4 谓词公式的分类35

2.2.5 谓词公式的基本等值式35

2.3 谓词公式的范式37

2.3.1 谓词公式的前束范式37

2.3.2 Skolem标准型38

2.4 谓词逻辑推理38

2.4.1 谓词逻辑的推理38

2.4.2 谓词逻辑推理方法39

2.5 谓词逻辑的应用41

习题245

第3章 集合与关系48

3.1 集合的基本概念48

3.1.1 集合与元素48

3.1.2 集合间的关系49

3.2 集合的运算50

3.3 容斥原理51

3.4 序偶与笛卡儿积53

3.4.1 序偶53

3.4.2 笛卡儿积54

3.5 关系及其表示56

3.5.1 关系的定义56

3.5.2 关系的表示57

3.5.3 几种特殊的关系58

3.6 关系的性质及其判定方法59

3.6.1 关系的性质59

3.6.2 关系性质的判定60

3.7 复合关系和逆关系62

3.7.1 复合关系62

3.7.2 复合关系的矩阵表示及图形表示64

3.7.3 逆关系66

3.8 关系的闭包运算68

3.9 等价关系与相容关系71

3.9.1 集合的划分和覆盖71

3.9.2 等价关系与等价类72

3.9.3 相容关系75

3.10 偏序关系77

3.10.1 偏序关系的定义77

3.10.2 偏序关系的哈斯图77

3.10.3 偏序集中特殊元素79

3.10.4 两种特殊的偏序集81

3.11 集合和关系的应用81

3.11.1 关系在关系数据库中的应用81

3.11.2 等价关系的应用84

3.11.3 同余关系和偏序关系的应用85

习题387

第4章 函数89

4.1 函数的概念89

4.2 特殊函数92

4.3 复合函数和反函数94

4.3.1 复合函数94

4.3.2 反函数96

4.4 置换98

4.5 基数99

4.5.1 无限集合99

4.5.2 基数的概念100

4.5.3 可数集与不可数集101

4.6 函数的应用104

4.6.1 一些有趣的双射函数104

4.6.2 哈希函数105

习题4110

第5章 图的基本理论112

5.1 图的定义及相关概念112

5.1.1 图的定义及其表示113

5.1.2 图的同构114

5.1.3 子图115

5.1.4 图的运算116

5.2 通路、回路与连通性117

5.2.1 通路、回路117

5.2.2 无向图的连通性118

5.2.3 有向图的连通性119

5.3 图的矩阵表示120

5.3.1 图的关联矩阵120

5.3.2 图的邻接矩阵121

5.3.3 可达矩阵123

5.4 图中通路的应用124

习题5125

第6章 特殊图128

6.1 树128

6.1.1 无向树及其性质128

6.1.2 生成树与最小生成树130

6.1.3 根树的基本概念133

6.1.4 最优树134

6.1.5 二叉树的遍历135

6.2 欧拉图135

6.3 哈密顿图138

6.4 二部图141

6.4.1 二部图定义及其判定定理141

6.4.2 二部图中的匹配141

6.5 平面图143

6.5.1 平面图的基本概念143

6.5.2 欧拉公式144

6.5.3 平面图的判断定理145

6.5.4 平面图的对偶图146

6.6 特殊图的应用147

6.6.1 根树的应用147

6.6.2 欧拉图的应用150

6.6.3 哈密顿图的应用152

6.6.4 二部图的应用154

习题6155

第7章 代数系统基础158

7.1 代数运算158

7.1.1 什么是运算158

7.1.2 运算的定义159

7.2 代数系统及运算的性质161

7.2.1 代数系统161

7.2.2 二元运算的性质161

7.3 代数系统中的特殊元及子代数系统163

7.3.1 代数系统中的特殊元163

7.3.2 子代数系统166

7.4 代数系统的同态与同构166

7.5 常用的代数系统分类169

习题7171

第8章 几个典型的代数系统174

8.1 半群与幺半群174

8.1.1 半群和循环半群174

8.1.2 幺半群与循环幺半群175

8.2 群176

8.2.1 群的定义及性质177

8.2.2 子群及同态181

8.2.3 特殊群183

8.2.4 陪集与拉格朗日定理185

8.3 环与域188

8.3.1 环与域的定义188

8.3.2 环与域的性质189

8.3.3 子环及环同态190

8.4 格与布尔代数191

8.4.1 格的概念与性质192

8.4.2 子格及格同态195

8.4.3 几种特殊格197

8.4.4 布尔代数200

8.4.5 布尔表达式203

8.5 典型代数系统的应用204

8.5.1 半群的应用——有穷（限）自动机204

8.5.2 群论的应用——纠错码208

8.5.3 布尔代数的应用——全加器的电路设计216

习题8219