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第1章 实数1

1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质1

1.1.1 实数集的定义1

1.1.2 实数的某些代数性质3

1.1.3 确界原理6

1.2 重要的实数类8

1.2.1 自然数与数学归纳原理8

1.2.2 有理数与无理数10

1.2.3 阿基米德原理13

1.2.4 实数集的几何解释与位置记数法15

1.3 与实数集的完备性有关的等价引理21

1.4 可数集与连续统25

1.4.1 集的势（基数）25

1.4.2 可数集25

1.4.3 连续统的势27

第2章 极限30

2.1 序列的极限30

2.1.1 定义和例子30

2.1.2 数列极限的性质31

2.1.3 数列极限的存在问题34

2.1.4 级数的初步知识41

2.2 函数的极限51

2.2.1 定义和例子51

2.2.2 函数极限的性质55

2.2.3 函数极限的一般定义（对基的极限）59

2.2.4 函数极限的存在问题62

2.2.5 根据极限理论定义指数函数、对数函数与幂函数65

2.2.6 两个重要极限70

2.2.7 函数的渐近行为比较75

第3章 连续函数85

3.1 基本定义和例子85

3.1.1 函数在一点处的连续性85

3.1.2 间断点89

3.2 连续函数的性质92

3.2.1 局部性质92

3.2.2 全局（整体）性质93

第4章 微分学104

4.1 可微函数104

4.1.1 导数和微分104

4.1.2 切线；导数和微分的几何意义106

4.1.3 一些例子108

4.2 微分的基本法则114

4.2.1 微分法和算术运算114

4.2.2 反函数的微分法117

4.2.3 复合函数的微分法121

4.2.4 基本初等函数的导数表123

4.2.5 高阶导数124

4.2.6 最简单的隐函数的微分法127

4.3 微分学的基本定理132

4.3.1 费马引理和罗尔定理132

4.3.2 拉格朗日和柯西的微分中值定理134

4.3.3 泰勒公式137

4.4 用微分学的方法研究函数151

4.4.1 函数单调的条件（参看函数单调性检验法）151

4.4.2 函数内极值点条件152

4.4.3 函数凸的条件157

4.4.4 洛必达法则163

4.4.5 作函数的图像166

4.5 复数 初等函数彼此间的联系172

4.5.1 复数172

4.5.2 C中的收敛及复数项级数175

4.5.3 欧拉公式以及初等函数彼此间的联系179

4.5.4 函数的幂级数表示，解析性182

4.5.5 复数域C的代数封闭性187

4.6 自然科学中应用微分学的一些例子195

4.6.1 齐奥尔科夫斯基公式195

4.6.2 放射衰变、连锁反应及原子反应堆196

4.6.3 振动198

第5章 积分学201

5.1 原函数与不定积分201

5.1.1 概念201

5.1.2 求原函数的基本的一般方法202

5.1.3 有理函数的原函数207

5.1.4 ∫ R（cos x， sin x） dx型的原函数211

5.1.5 ∫R（x，y（x））dx型的原函数213

5.2 定积分219

5.2.1 积分定义和可积函数集的描述219

5.2.2 积分的性质233

5.2.3 积分和导数242

5.2.4 定积分的一些应用253

5.2.5 反常积分266