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第1章 方程的导出和定解问题1

1.1 方程的导出1

1.2　定解条件和定解问题7

1.3　二阶线性方程的分类与叠加原理10

习题一17

第2章　行波法18

2.1　一维波动方程的初值问题18

2.1.1　无界弦的自由振动18

2.1.2 半无界弦的自由振动20

2.1.3　无界弦的强迫振动21

2.2 二维与三维波动方程的初值问题26

2.2.1　球对称情况26

2.2.2　一般情况27

2.2.3　降维法及二维波动方程30

2.3　解的物理意义31

2.3.1　D'Alembert公式的物理意义31

2.3.2 依赖区域、决定区域和影响区域31

习题二34

第3章　分离变量法和特殊函数36

3.1　齐次边界条件的定解问题36

3.1.1 齐次方程齐次边界条件36

3.1.2　非齐次方程齐次边界条件44

3.2　非齐次边界条件的定解问题47

3.2.1　边界条件齐次化47

3.2.2　周期性条件和自然边界条件51

3.3 柱域中的分离变量法和Bessel函数54

3.3.1 Bessel方程的引出54

3.3.2　Bessel函数及其性质55

3.4　球域中的分离变量法及Legendre多项式66

3.4.1 Legendre方程的引出66

3.4.2 Legendre多项式67

3.5　本征值理论75

3.5.1 Sturm-Liouville边值问题75

3.5.2　本征函数的正交性78

3.5.3　展开定理81

3.5.4　奇异的本征值问题82

习题三84

第4章　积分变换法88

4.1　Fourier变换及其性质88

4.1.1 Fourier变换的形式导出及它的定义88

4.1.2　Fourier变换的基本性质90

4.1.3 δ函数及它的Fourier变换92

4.2　Fourier变换在求解偏微分方程初值问题中的应用95

4.2.1　一维热传导方程的初值问题95

4.2.2　一维波动方程的初值问题96

4.2.3 应用Fourier变换求解边值问题97

4.3　Laplace变换及其性质98

4.3.1 Laplace变换的形式推导98

4.3.2　存在定理98

4.3.3　Laplace变换的基本性质99

4.4 Laplace变换在求解偏微分方程定解问题中的应用101

习题四103

第5章　Green函数法106

5.1 Laplace方程第一边值问题的Green函数法106

5.1.1 Green公式、基本解与基本积分公式106

5.1.2　Green函数及其意义108

5.1.3　特殊区域的Green函数109

习题五112

习题答案114

附录122

附录A　Fourier变换表122

附录B　Laplace变换表123

附录C　柱函数、球函数的公式及数表124

参考文献128