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第1章 引论1

1.1 微分方程的概念和实例1

1.1.1 导出微分方程的一些实际例子1

1.1.2 微分方程的概念3

1.1.3 计算机的应用5

1.1.4 微分方程的发展7

习题1.19

1.2 解的存在惟一性10

1.2.1 例子和思路11

1.2.2 存在惟一性定理及其证明13

1.2.3 存在惟一性定理的说明及例子17

习题1.222

1.3 一阶微分方程的向量场23

1.3.1 向量场23

1.3.2 积分曲线的图解法27

习题1.328

复习题·应用课题·计算机实验28

2.1.1 线性齐次方程31

第2章 一阶微分方程31

2.1 线性方程31

2.1.2 线性非齐次方程32

2.1.3 Bernoulli方程35

2.1.4 线性微分方程的应用举例36

2.1.5 计算机的应用39

习题2.140

2.2 变量可分离的方程42

2.2.1 变量可分离方程的求解42

2.2.2 齐次方程44

2.2.3 变量可分离方程的应用46

2.2.4 计算机的应用48

习题2.250

2.3 全微分方程52

2.3.1 全微分方程的定义与充要条件52

2.3.2 全微分方程的积分54

2.3.3 积分因子57

习题2.362

2.4.1 形如dy/dx=f(ax+by+c)的方程64

2.4 变量替换法64

2.4.2 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程65

2.4.3 其他变换举例66

2.4.4 Riccati方程68

习题2.471

2.5 一阶隐式微分方程72

2.5.1 可解出y或x的方程与微分法72

2.5.2 不显含x或y的方程与参数法76

2.5.3 奇解与包络80

习题2.583

2. 6近似解法83

2.6.1 逐次迭代法84

2.6.2 Taylor级数法85

2.6.3 Euler折线法88

习题2.691

2.7 一阶微分方程的应用92

2.7.1 曲线族的等角轨线92

2.7.2 放射性废物的处理问题94

2.7.3 我国人口的发展预测96

习题2.797

复习题·应用课题·计算机实验98

第3章 二阶及高阶微分方程103

3.1 可降阶的高阶方程103

3.1.1 不显含未知函数x的方程103

3.1.2 不显含自变量t的方程104

3.1.3 全微分方程和积分因子105

3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例106

习题3.1113

3.2.1 线性微分方程的有关概念114

3.2 线性微分方程的基本理论114

3.2.2 齐次线性方程解的性质和结构116

3.2.3 非齐次线性方程解的结构123

习题3.2127

3.3 线性齐次常系数方程128

3.3.1 复值函数128

3.3.2 常系数齐次线性方程130

3.3.3 某些变系数线性齐次微分方程的解法135

3.3.4 高阶常系数齐次方程的计算机求解139

习题3.3140

3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法141

3.4.1 非齐次项为多项式的情形142

3.4.2 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形145

3.4.3 非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形146

习题3.4149

3.5 高阶微分方程的应用150

3.5.1 机械振动150

3.5.2 RLC电路154

习题3.5157

复习题·应用课题·计算机实验158

第4章 微分方程组161

4.1 微分方程组的概念161

4.1.1 微分方程组的实例及有关概念161

4.1.2 函数向量和函数矩阵166

4.1.3 微分方程组解的存在惟一性定理171

习题4.1174

4.2 微分方程组的消元法和首次积分法175

4.2.1 微分方程组的消元法175

4.2.2 微分算子与线性微分方程组178

4.2.3 微分方程组的首次积分法180

习题4.2184

4.3 线性微分方程组的基本理论185

4.3.1 线性齐次方程组解的结构185

4.3.2 非齐次线性微分方程组解的结构196

习题4.3199

4.4 常系数齐次线性微分方程组201

4.4.1 系数矩阵A有单特征根时的解201

4.4.2 系数矩阵A具有重特征根时的解207

4.4.3 计算机的应用216

4.4.4 矩阵指数函数的定义和性质221

习题4.4227

4.5 常系数非齐次线性微分方程组229

4.5.1 常数变易法229

4.5.2 线性变换法232

4.5.3 待定系数法234

4.5.4 计算机应用239

习题4.5241

4.6.1 两自由度的振动问题243

4.6 微分方程组应用举例243

4.6.2 胆固醇流动的仓室模型246

4.6.3 人造卫星的轨道方程247

4.6.4 扩音器振动模型253

习题4.6256

复习题·应用课题·计算机实验256

第5章 非线性微分方程组262

5.1 非线性方程研究的例子与概念262

5.1.1 例子262

5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、动力系统264

5.1.3 基本定义267

习题5.1271

5.2 自治微分方程组解的性质272

5.2.1 自治系统轨线的特点273

5.2.2 自治系统解的基本性质275

习题5.2278

5.3 平面线性系统的奇点及相图279

5.3.1 几个线性系统的计算机相图280

5.3.2 平面线性系统的初等奇点284

习题5.3291

5.4 几乎线性系统解的稳定性293

5.4.1 平面几乎线性系统的稳定性293

5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性301

习题5.4305

5.5 Liapunov第二方法306

5.5.1 定号函数306

5.5.2 稳定性基本定理307

5.5.3 稳定性定理的几何意义312

5.5.4 二次型形式的V函数313

习题5.5314

5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环316

5.6.1 周期解与极限环316

5.6.2 极限环的存在性319

5.6.3 极限环的不存在性321

5.6.4 极限环的稳定性323

习题5.6323

复习题·应用课题·计算机实验324

参考文献327