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第一章 初等数论1

一、自然数1

1.进位制1

2.质数·算术基本定理4

3.最小公倍数与最大公约数7

4.自然数的约数12

5.平方数与两个平方数的和14

6.勾股数18

二、整数21

1.奇数与偶数21

2.整数分解式23

3.整除性25

4.带余除法·辗转相除法28

5.同余式33

6.剩余类·费马小定理36

三、高斯函数40

1.函数性质40

2.一个重要应用45

四、抽屉原理48

1.抽屉原理及其各种形式48

2.解题应用49

练习一58

测验题一62

第二章 解析式66

一、多项式66

1.多项式、余式定理与因式定理66

2.综合除法69

3.多项式的可约性70

4.对称多项式72

5.k次等幂和75

二、解析式恒等变换77

1.公式与应用78

2.方法与技巧81

练习二89

测验题二92

第三章 方程与不等式96

一、一元n次方程96

1.代数基本定理与韦达定理96

2.拉格朗日公式98

3.方程的变换101

4.根的性质104

二、不定方程110

1.一次不定方程110

2.不定方程解法112

三、不等式证明118

1.几个重要不等式及其应用118

2.不等式证明方法128

练习三137

测验题三143

第四章 平面几何与立体几何147

一、平面几何证题147

1.几个重要定理及应用147

2.综合法证题158

3.几何变换163

二、几何不等式174

1.基本几何不等式174

2.几何不等式问题解法178

三、立体几何189

1.一些特殊方法189

2.几个立体几何问题195

练习四203

测验题四209

第五章 函数与数列213

一、初等函数213

1.函数极值213

2.函数方程218

3.凸函数221

二、特殊数列224

1.循环数列224

2.递推式231

练习五238

测验题五241

第六章 复数与向量246

一、复数246

1.n次单位根246

2.复数解题应用249

二、向量259

1.向量的基础知识259

2.向量在几何问题中的应用266

练习六271

测验题六274

第七章 解析几何279

一、圆锥曲线的切法线279

1.几种切法线方程279

2.切点弦方程284

3.光学性质的应用286

二、解析几何问题解法288

1.正确选择坐标系及点的坐标288

2.建立适当的曲线方程292

3.灵活运用方程性质301

4.注意运用几何性质306

练习七308

测验题七311

第八章 点集、覆盖与图316

一、点集316

1.凸集与凸包316

2.格点与格点多边形322

二、覆盖329

1.覆盖问题329

2.最小覆盖图形332

3.平面嵌入336

三、图338

1.简单图338

2.链、圈、树342

3.哈密尔顿圈与欧拉圈345

4.平面图与欧拉公式349

5.拉姆赛型问题352

练习八355

测验题八358

第九章初等组合论361

一、组合数计算361

二、几种排列与组合367

1.有重复的排列367

2.不尽相异元素的全排列367

3.有重复的组合369

4.有限重复组合373

5.环状排列375

6.错位排列377

三、计数原理380

1.配对原理380

2.容斥原理384

3.反射原理388

4.建立递推关系391

四、初等组合问题394

1.初等组合问题讨论394

2.典型的组合问题399

练习九405

测验题九408

第十章 数学竞赛问题解法412

一、解法讨论412

1.数学归纳法412

2.反证法416

3.考虑极端情况419

4.考虑奇偶或剩余421

5.考虑进位制423

6.变换命题形式425

7.构造法432

8.逐步调整法440

9.倒推与夹逼442

二、综合试题445

附录 练习、测验题、综合试题答案及参考解答451