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上编　微分学3

第一章 巴拿赫空间中的微分学3

1．关于巴拿赫空间及连续线性映射概念的回顾3

1.1．向量空间E上的范数3

1.2．巴拿赫空间的例子5

1.3．巴拿赫空间中的正规收敛级数6

1.4．连续线性映射7

1.5．连续线性映射的复合9

1.6．赋范向量空间的同构；赋范向量空间上的等价范数9

1.7．空间￡（E;F）的例子12

1.8．连续多重线性映射15

1.9．自然等距映射￡（E,F;G）≈￡（E；￡（F;G））18

2．可微映射19

2.1．可微映射的定义19

2.2．复合映射的导出映射22

2.3．导出映射的线性24

2.4．特殊映射的导出映射24

2.5．在几个巴拿赫空间的积中取值的映射27

2.6．U是几个巴拿赫空间的积中开集情形30

2.7．2.5及2.6段中所研究情形的组合31

2.8．最后的注记：R可微性及C可微性的比较32

3．有限增量定理；应用33

3.1．主要定理的叙述33

3.2．主要定理的特殊情形35

3.3．变量在巴拿赫空间中的有限增量定理36

3.4．有限增量定理续论39

3.5．习题39

3.6．有限增量定理的第一种应用：可微映射序列的收敛性40

3.7．有限增量定理的第二种应用：偏可微性与可微性之间的关系42

3.8．有限增量定理的第三种应用：严格可微映射概念43

4．C1类映射的局部反演…隐映射定理45

4.1．C1类的微分同胚45

4.2．局部反演定理47

4.3．局部反演定理的证明：第一步化简47

4.4．命题4.3.1的证明48

4.5．定理4.4.1的证明49

4.6．有限维情形下的局部反演定理50

4.7．隐映射定理51

5．高阶导出映射54

5.1．二阶导出映射54

5.2．E是乘积空间E1×…×En情形57

5.3．逐阶导出映射59

5.4．n次可微映射的例子61

5.5．泰勒公式：特别情形64

5.6．泰勒公式：一般情形66

6．多项式69

6.1．n次齐次多项式69

6.2．不一定齐次的多项式71

6.3．多项式的逐次“差分”73

6.4．E及F是赋范向量空间情形76

7．有限展开式77

7.1．定义77

7.2．f在点a处n次可微情形80

7.3．有限展开式的运算81

7.4．两个有限展开式的复合82

7.5．计算复合映射的逐阶导出映射83

8．相对极大与极小84

8.1．相对极小的第一个必要条件85

8.2．相对极小的二阶条件85

8.3．严格相对极小的充分条件87

习题89

第二章　微分方程98

1．定义与基本定理98

1.1．一阶微分方程98

1.2．n阶微分方程99

1.3．近似解100

1.4．例：线性微分方程103

1.5．李普希茨情形：基本引理104

1.6．基本引理的应用：唯一性定理107

1.7．李普希茨情形下的存在定理107

1.8．f是局部李普希茨情形109

1.9．线性微分方程情形111

1.10．对初始值的依赖性112

1.11．微分方程依赖于一个参变量情形113

2．线性微分方程114

2.1．通解的形式114

2.2．齐次线性方程研究115

2.3．E有有限维情形117

2.4．“带右端项的”线性方程119

2.5．n阶齐次线性微分方程情形120

2.6．“带右端项的”n阶线性微分方程123

2.7．常系数线性微分方程124

2.8．常系数方程：E有有限维情形126

2.9．常系数n阶线性微分方程127

3．一些问题129

3.1．含一个参变量的线性自同构群129

3.2．含一个参变量之群的芽130

3.3．可微性问题132

3.4．可微性问题（续）：对初始值u的可微性133

3.5．定理3.4.2的证明135

3.6．对微分方程所含一个参变量的可微性137

3.7．高阶可微性138

3.8．二阶微分方程情形139

3.9．不含自变量的微分方程140

3.10．“未解出的”微分方程144

4．首次积分与线性偏微分方程147

4.1．微分方程组的首次积分的定义147

4.2．首次积分的存在性149

4.3．非齐次线性偏微分方程150

4.4．例151

习题153

下编　微分形式163

第一章　微分形式163

1．交错多重线性映射163

1.1．交错多重线性映射的定义163

1.2．排列群164

1.3．交错多重线性映射的性质165

1.4．交错多重线性映射的乘法166

1.5．外乘法的性质168

1.6．n个线性形式的外乘积171

1.7．E有有限维情形172

2．微分形式173

2.1．微分形式的定义173

2.2．微分形式的运算174

2.3．外微分的运算175

2.4．外微分运算的性质177

2.5．外微分的基本性质179

2.6．有限维空间上的微分形式180

2.7．按典范写出的微分形式的算法182

2.8．微分形式中的变量代换185

2.9．变量代换中映射？＊的性质186

2.10．按典范写出的？＊的计算187

2.11．变量代换的可递性189

2.12．微分形式等于dα的条件190

2.13．庞加莱定理的证明192

3．一次微分形式的线积分197

3.1．C1类道路197

3.2．线积分198

3.3．参变量代换200

3.4．ω是映射的微分情形201

3.5．一次闭微分形式204

3.6．闭形式沿一条道路的原映射206

3.7．两条道路的同伦208

3.8．单连通开集211

4．次数＞1的微分形式的积分212

4.1．单位的可微分解212

4.2．平面R2中带边界的紧集216

4.3．微分2形式在带边界的紧集K上的积分219

4.4．平面上的斯托克斯定理221

4.5．定理4.4.1（斯托克斯定理）的证明222

4.6．重积分中的变量代换226

4.7．空间Rn中的流形230

4.8．流形的定向234

4.9．微分2形式在C1类2维定向紧流形上的积分235

4.10．n重积分238

4.11．在流形M ？Rn上的微分形式240

4.12．p维流形M（M ？Rn）的p维体积元素241

5．流形上数值函数的极大与极小244

5.1．第一阶条件244

5.2．第二阶条件245

6．弗罗贝尼乌斯定理246

6.1．问题的地位246

6.2．第一存在定理248

6.3．第二存在定理249

6.4．第二存在定理证明的终结251

6.5．基本定理252

6.6．用微分形式的解释254

习题257

第二章　变分学原理265

1．问题的地位265

1.1．C1类曲线的空间265

1.2．曲线的泛函266

1.3．例268

1.4．极小问题269

1.5．极值条件的变换270

1.6．对于极值曲线f′（？）·u的计算274

2．欧拉方程的研究：极值曲线的存在性．例275

2.1．E=Rn情形下的欧拉方程275

2.2．例277

2.3．力学中的拉格朗日方程278

2.4．回到一般情形：F（t,x,y）与t无关情形279

2.5．F（x,y）是y的二次齐次式情形280

2.6．流形的测地线情形282

2.7．流形上曲线的极值问题284

2.8．上列情形的变换287

3．二维问题288

3.1．问题的地位288

3.2．极值条件的变换290

习题292

第三章 活动标架法对曲线及曲面论的应用299

1．活动标架299

1.1．微分形式ωi及ωij的定义299

1.2．形式ωi及ωij所满足的关系式301

1.3．标准正交标架301

1.4．R3中定向曲线的弗雷内标架302

1.5．R3中定向曲面S上定向曲线C的达布标架304

1.6．测地曲率、法曲率及测地挠率的计算305

2．与R3中曲面相联系的含三个参变量的标架族307

2.1．定向曲面的标架流形307

2.2．曲面上标架的运动方程308

2.3．曲面S的面积元素310

2.4．曲面S的第二基本二次形式310

2.5．已定方向上法曲率及测地挠率的计算311

2.6．主方向；曲率线313

2.7．测地曲率的微分形式314

2.8．标架场的应用315

2.9．沿曲线的平行移动316

2.10．全曲率与平行移动的关系317

2.11．用第一基本形式计算曲面的全曲率320

习题321

索引 上编：微分学325

索引 下编：微分形式329

外国人名译名对照表333

译后记335