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第一章　卷积1

1.1　群论的预备知识1

1.1.1　拓扑群1

1.1.2　平移算子在函数和测度上的作用1

1.1.3　Haar测度3

1.1.4　Tn上的Haar测度3

1.1.5　空间Lp（G）4

1.2　卷积5

1.3　渐近单位10

1.4　正规化13

1.5　有界测度的代数15

1.5.1　有界Radon测度空间15

1.5.2　测度的卷积16

1.5.3　有界测度的Fourier变换18

1.6　积分的密度：Lebesgue定理19

1.6.1　Hardy-Littlewood算子19

1.6.2　Lebesgue密度定理21

第二章 Rn中的Fourier变换26

2.1　定义和基本公式26

2.2　L1（Rn）上的Fourier变换理论27

2.3 Fourier-Plancherel变换30

2.4　Fourier变换和微分32

2.5　Heisenberg测不准原理39

2.6　热方程41

2.7　S（Rn）上的Fourier变换43

2.7.1　半范空间43

2.7.2　L.Schwartz空间S（Rn）44

2.8　Hermite-Weber函数46

2.8.1　Hermite多项式46

2.8.2　Hermite-Weber函数47

2.9　其他约定和公式49

第三章　Fourier级数50

3.1　记号和预备知识50

3.2　Fourier变换52

3.3　Fourier变换和导数56

3.4　部分和的点态收敛57

3.5　Gibbs现象62

3.6　多重Fourier级数63

3.7　Poisson和公式64

第四章　正测度的Fourier变换67

4.1　初步知识67

4.2　测度的弱收敛68

4.3　测度的狭收敛70

4.4　正定函数72

4.4.1 正定数列72

4.4.2　Bochner定理74

第五章　离散化77

5.1　离散Fourier变换77

5.2　快速Fourier变换78

5.2.1　算法78

5.2.2　一个应用79

5.3　Fourier系数的数值计算79

5.4　采样—Shannon定理80

5.5　Fourier变换的数值计算83

第六章　Hilbert变换84

6.1　Hilbert变换84

6.2　Lp上的作用86

6.2.1　线性算子的插值86

6.2.2　在Hilbert变换中的应用89

6.3　共轭函数90

6.3.1　共轭函数90

6.3.2　部分和的结果93

6.4　补充与评注94

6.4.1　补充94

6.4.2　评注95

第七章　其他群97

7.1　有限群97

7.2　群（Z/mZ）N98

7.2.1　群（Z/2Z）N100

7.2.2　Rademacher,Walsh和Haar函数101

7.3　其他的全不连通紧群103

7.4　Qp上的调和分析105

7.4.1　域Qp105

7.4.2　Qp的连续特征106

7.4.3　Fourier变换107

7.5　Pontryagine定理108

7.6　Hausdorff-Young定理109

7.6.1　另一插值定理109

7.6.2　Hausdorff-Young定理110

参考文献111

索引112