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第1章 集合1

1.1集合的直观概念1

1.2集合的基本关系2

1.2.1包含关系2

1.2.2相等关系3

1.2.3真包含4

1.2.4欧拉图4

1.2.5维恩图5

1.2.6集合的定义6

1.3空集8

1.3.1空集的概念8

1.3.2不相交集9

1.4集合上的布尔运算10

1.4.1交集10

1.4.2并集11

1.4.3差集与补集14

1.5广义并集与广义交集16

1.6幂集18

1.7部分重要的数字集合20

第2章 关系23

2.1序偶、笛卡尔积和关系23

2.1.1序偶23

2.1.2笛卡尔积25

2.1.3关系27

2.2关系表和关系图29

2.2.1关系表29

2.2.2关系图30

2.3关系运算31

2.3.1逆运算31

2.3.2关系并运算32

2.3.3关系的合运算33

2.3.4象／象集36

2.4自反性与传递性37

2.4.1自反性37

2.4.2传递性38

2.5等价关系与划分39

2.5.1对称39

2.5.2等价关系40

2.5.3划分41

2.5.4划分与等价关系之间的对应43

2.6顺序相关关系44

2.6.1偏序44

2.6.2线性有序45

2.6.3严格有序46

2.7关系的闭合48

2.7.1关系传递闭包48

2.7.2关系条件下集合闭包49

第3章 函数53

3.1何为函数53

3.2函数运算55

3.2.1定义域与值域55

3.2.2象、限制与闭包56

3.2.3合成58

3.2.4逆59

3.3单射、满射与双射60

3.3.1单射60

3.3.2满射61

3.3.3双射函数62

3.4应用函数比较大小63

3.4.1等量原理63

3.4.2比较原理64

3.4.3归档原理65

3.5常用函数67

3.5.1恒等函数67

3.5.2常（值）函数67

3.5.3投影函数68

3.5.4特征函数68

3.5.5集合族68

3.5.6序列69

第4章 归纳与递归73

4.1归纳与递归73

4.2应用正整数的简单归纳进行证明74

4.2.1实例74

4.2.2隐藏在实例后的原理75

4.3应用自然数的简单递归进行定义78

4.4预测递归定义的函数80

4.5累积归纳和递归81

4.5.1返回多单元的递归式定义81

4.5.2应用累积归纳进行证明83

4.5.3同时归纳与递归84

4.6结构递归与归纳86

4.6.1结构递归法定义集合86

4.6.2应用结构归纳法进行证明89

4.6.3应用结构递归法在定义域上定义函数90

4.6.4结构递归法进行函数定义的条件91

4.6.5何时唯一分解条件失效93

4.7良基集上的归纳与递归94

4.7.1良基集94

4.7.2应用良基归纳法进行证明时的定理95

4.7.3应用良基递归法在定义域上定义函数97

4.8递归程序98

第5章 组合学102

5.1两条基本原理：加法和乘法102

5.2两条基本原理的联合运用105

5.3从n个对象中选出k个项目的4种方法106

5.4排列与组合的计算公式110

5.4.1排列的计算公式（O+R—）111

5.4.2组合的计算公式（O—R—）112

5.5有重排列与有重组合的计算公式116

5.5.1有重排列计算公式（O+R+）116

5.5.2有重组合计算公式（O—R+）117

5.6重排及划分119

5.6.1重排119

5.6.2给定数字格局下的划分计算121

第6章 概率126

6.1有限概率空间126

6.1.1基本定义126

6.1.2概率函数的性质128

6.2基本哲学原理及应用130

6.3一些简单问题132

6.4条件概率135

6.5插曲之辛普森悖论141

6.6独立性142

6.7贝叶斯定理145

6.8随机变量与期望值147

6.8.1随机变量148

6.8.2期望值148

6.8.3诱导概率分布150

6.8.4采用诱导概率函数表示期望值151

第7章 存储数学：树156

7.1第一棵树156

7.2有根树158

7.3标记树164

7.4插曲：无括号表示法167

7.5二叉查找树168

7.6无根树173

7.6.1无根树的定义173

7.6.2无根树的性质174

7.6.3寻找生成树177

第8章 命题逻辑180

8.1何为逻辑180

8.2结果的结构特征181

8.3真值函数连接词185

8.4同义反复188

8.4.1命题逻辑语言189

8.4.2赋值（分配）与赋值函数189

8.4.3永真蕴含（重复蕴含）190

8.4.4重复等价（同义反复等价）192

8.4.5永真式与永假式（矛盾）195

8.5标准型（范式）、最小字母集与最大模块性198

8.5.1析取范式198

8.5.2合取范式201

8.5.3去除冗余字母（文字）202

8.5.4最大模表示204

8.6语义分解树206

8.7自然演绎210

8.7.1约束210

8.7.2二级（亦称间接）推理212

第9章 量化逻辑221

9.1量词语言221

9.1.1实例221

9.1.2语言的系统表述223

9.1.3自由与约束227

9.2基本的逻辑等价228

9.3量化逻辑的语义学230

9.3.1解释231

9.3.2在解释下评价条件231

9.3.3在解释下评价公式的初始条件232

9.3.4在解释下评价公式的递归步骤232

9.3.5量词的x-变体解释232

9.3.6量词的替代解释235

9.4逻辑结论237

9.5带有量词的自然演绎／推理243