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第1章 常微分方程初值问题的数值解法1

1.1 解的适定性1

1.1.1 解的唯一性1

1.1.2 解的稳定性3

1.2 Euler方法5

1.2.1 Euler公式5

1.2.2 收敛性分析7

1.2.3 渐近稳定性分析10

1.3 改进的Euler方法10

1.3.1 梯形公式10

1.3.2 误差分析12

1.4 Runge-Kutta方法13

1.4.1 显式Runge-Kutta公式13

1.4.2 误差分析23

1.4.3 隐式Runge-Kutta公式27

1.5 线性多步法30

1.6 稳定性分析34

1.7 一般线性多步法37

1.7.1 待定系数法37

1.7.2 数值积分法40

1.8 Adams线性多步法41

1.8.1 Adams-Bashforth公式41

1.8.2 Adams-Moulton公式43

1.9 其他线性多步法45

1.9.1 Nystr？m方法46

1.9.2 Milne-Simpson公式47

1.10 Richardson外推47

1.11 线性差分方程51

1.11.1 非常系数线性差分方程52

1.11.2 常系数线性差分方程56

1.12 多步法的收敛性和稳定性61

1.12.1 稳定性理论62

1.12.2 强稳定性和弱稳定性69

1.12.3 相对稳定性与绝对稳定性69

1.12.4 Dahlquist稳定性理论73

1.13 预测-校正算法75

1.13.1 局部截断误差76

1.13.2 修正算法79

1.14 刚性方程组的解法82

1.15 Hamilton系统的辛几何算法89

1.15.1 辛几何与辛代数的基本概念89

1.15.2 Hamilton系统的辛格式92

练习题96

第2章 两点边值问题的试射法101

2.1 边值问题解的存在性和唯一性101

2.2 二阶常微分方程的试射法103

2.3 二阶非线性常微分方程的试射法104

练习题109

第3章 椭圆型方程的差分解法111

3.1 二阶线性两点边值问题的差分格式111

3.1.1 差分近似112

3.1.2 有限体积法114

3.2 非线性两点边值问题的差分格式117

3.3 Laplace方程的五点差分格式118

3.4 有限体积法127

3.5 边界条件的处理128

3.5.1 Dirichlet边界条件128

3.5.2 Neumann边界条件129

3.5.3 Robbins边界条件132

3.6 轴对称Poisson方程的差分格式135

3.7 扩散对流方程139

3.8 Poisson方程五点差分格式的收敛性分析140

3.9 能量分析法143

练习题147

第4章 收敛性、相容性和稳定性150

4.1 收敛性150

4.2 相容性152

4.3 稳定性156

4.4 Lax定理159

4.5 Fourier级数法稳定性分析161

4.5.1 初值问题161

4.5.2 初边值问题169

4.5.3 von Neumann条件的充分性173

4.6 von Neumann多项式分析177

4.7 Hurwitz判别法187

4.8 矩阵法稳定性分析195

4.9 能量稳定性分析203

4.9.1 双曲型问题203

4.9.2 热传导问题207

4.9.3 非线性初值问题209

练习题213

第5章 抛物型方程的差分解法216

5.1 一维常系数扩散方程216

5.1.1 向前和向后差分格式216

5.1.2 加权隐式格式217

5.1.3 三层显格式218

5.1.4 二层隐式格式222

5.1.5 三层隐格式223

5.2 变系数抛物型方程224

5.3 非线性抛物型方程226

5.3.1 三层显格式226

5.3.2 线性化差分格式227

5.3.3 CN格式和预测校正格式228

5.4 二维热传导方程230

5.4.1 加权差分格式230

5.4.2 Du Fort-Frankel格式231

5.4.3 交替方向隐（ADI）格式231

5.4.4 局部一维（LOD）法236

5.5 三维热传导方程237

5.6 高维热传导方程241

5.7 算子形式的热传导方程243

5.7.1 CN格式243

5.7.2 CN分裂格式244

练习题247

第6章 双曲型方程的差分解法250

6.1 线性对流方程250

6.1.1 迎风格式250

6.1.2 Lax-Friedrichs格式252

6.1.3 Lax-Wendroff格式253

6.1.4 MacCormack格式254

6.1.5 Wendroff隐式格式255

6.1.6 Crank-Nicolson格式256

6.2 特征线与差分格式257

6.2.1 特征线与CFL条件257

6.2.2 用特征线方法构造差分格式260

6.3 偏微分方程的相位速度和群速度262

6.3.1 相位速度262

6.3.2 群速度263

6.4 数值相位速度和群速度264

6.5 修正的偏微分方程269

6.6 一阶双曲型方程组的特征形式277

6.7 一阶双曲型方程组的差分格式280

6.8 维线性对流方程的差分格式284

6.8.1 典型差分格式284

6.8.2 ADI格式287

6.9 一维声波方程289

6.9.1 特征线289

6.9.2 显式差分格式291

6.9.3 隐式差分格式293

6.9.4 方程组形式的差分格式295

6.10 二维声波方程298

6.10.1 显式格式298

6.10.2 隐式格式300

6.11 三维声波方程301

6.11.1 显式格式301

6.11.2 隐式格式304

练习题305

第7章 波动方程有限差分波场模拟308

7.1 ADI格式308

7.1.1 二维声波方程309

7.1.2 三维声波方程315

7.2 LOD格式319

7.2.1 二维声波方程319

7.2.2 三维声波方程322

7.2.3 高维声波方程324

7.3 高精度LOD格式325

7.3.1 稳定性分析327

7.3.2 初边值条件329

7.3.3 数值计算330

7.4 高阶紧致隐式格式334

7.5 二维弹性波方程的交错网格法338

7.6 二维弹性波方程的有限体积法343

7.6.1 公式推导343

7.6.2 数值计算346

7.7 三维弹性波方程的交错网格法348

7.8 多孔含流体弹性介质方程的交错网格法355

7.8.1 弹性多孔介质方程——Biot方程355

7.8.2 基于速度压力方程的交错网格法358

7.8.3 二维数值计算363

7.8.4 三维数值计算364

7.9 三维弹性波方程的能量稳定性分析373

7.10 三维电磁场方程381

附录1 差分系数的计算390

附录2 常用公式和定理396

参考文献401

索引406