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目录1

绪论1

§1 工程力学与数值方法1

§2 近似数的表示2

2.1 似数2

2.2 绝对误差和相对误差3

2.3 有效数字4

§3 近似数的运算4

3.1 近似数的运算规则4

3.2 近似数对算法的要求5

§4 应用举例8

第一章 代数插值法9

§1 代数插值的基本理论9

1.1 代数插值问题9

1.2 插值多项式存在的唯一性10

1.3 插值多项式的余项11

§2 Lagrange插值13

2.1 线性插值与抛物插值13

2.2 Lagrange插值16

§3 逐步线性插值18

2.3 分段低次插值18

§4 Hermite插值23

§5 三次样条插值29

§6 多元函数的插值40

6.1 多元函数插值问题40

6.2 二元线性插值41

6.3 二元二次插值42

6.4 二元Lagrange插值43

§7 应用举例47

第二章 数据拟合与最小二乘法55

§1 线性最小二乘拟合56

§2 正交多项式与最小二乘拟合61

§3 非线性最小二乘拟合67

3.1 用变换方法化为线性拟合问题67

3.2 Gauss-Newton法69

3.3 改进的Gauss-Newton法72

§4 多元最小二乘拟合75

§5 线性矛盾方程组的最小二乘法77

5.1 求解法方程78

5.2 正交化方法80

§6 应用举例84

第三章 数值积分与数值微分94

§1 插值求积的基本公式94

§2 Newton-Cotes公式96

2.1 Newton-Cotes公式的基本形式96

2.2 复化求积法98

2.3 求积公式的误差101

2.4 变步长Simpson公式102

3.1 Richardson外推法105

§3 Romberg积分法105

3.2 Romberg积分法107

§4 Gauss型求积公式111

4.1 求积公式的代数精度111

4.2 Gauss型求积公式的构造111

4.3 常用的Gauss型求积公式118

§5 三次样条求积公式128

§6 多重积分的数值计算129

§7 数值微分136

7.1 插值求导的基本公式136

7.2 几个常用的数值微分公式137

7.3 用三次样条插值函数求数值导数141

§8 应用举例142

第四章 非线性方程及方程组的解法148

§1 根的隔离与二分法148

1.1 根的隔离148

1.2 二分法149

§2 迭代法及其加速151

2.1 一般迭代法151

2.2 Aitken加速迭代法154

§3 Newton法157

§4 弦截法160

§5 非线性方程组的解法162

5.1 Newton法162

5.2 最速下降法166

§6 应用举例170

第五章 线性代数方程组的解法177

§1 Gauss消去法177

1.1 Gauss消去法的计算过程178

1.2 Gauss主元素消去法181

1.3 标度化列主元消去法183

2.1 Gauss消去法与矩阵的三角分解188

§2 直接三角分解法188

2.2 列主元三角分解法191

2.3 追赶法195

2.4 方根法及改进的平方根法197

§3 大型稀疏方程组的解法203

3.1 稀疏矩阵的存储204

3.2 带状矩阵的三角分解209

3.3 等带宽带状方程组的列主元消去法210

3.4 定变带宽带状方程组的改进平方根法212

3.5 子结构法215

3.6 对称半正定线性方程组的解法221

3.7 含有部分已定变量值的方程组的解法223

§4 行列式与逆矩阵的计算224

4.1 行列式的计算224

4.2 逆矩阵的计算225

2.2 矩阵特征值与特征向量的性质231

§5 向量范数与矩阵范数矩阵的条件数232

5.1 量范数与矩阵范数232

5.2 向量序列与矩阵序列的收敛性234

5.3 矩阵的条件数235

6.1 关于方程组近似解的精度估计237

§6 解的精度估计与方程组的误差分析237

§7 病态方程组的解法238

6.2 方程组的误差分析238

7.1 病态方程组与病态矩阵240

7.2 病态方程组的解法241

§8 迭代法246

8.1 Jacobi迭代法247

8.2 Gauss-Seidel迭代法248

8.3 逐次超松弛迭代法248

8.4 迭代法的矩阵形式252

8.5 迭代法的收敛性254

8.6 块迭代法256

§9 共轭斜量法260

§10 应用举例266

第六章 矩阵特征值与特征向量的计算278

§1 引言278

§2 矩阵特征值问题的基本知识280

2.1 矩阵特征值的有关定义280

2.3 矩阵特征值界的估计281

3.1 幂法283

§3 幂法及其加速283

3.2 幂法的加速289

§4 对称矩阵的净化法293

§5 压缩方法296

§6 反幂法301

6.1 计算矩阵按模最小特征值301

6.2 计算给定近似特征值对应的特征向量302

§7 对称矩阵的子空间迭代法305

7.1 子空间迭代法的基本原理306

7.2 算法及其说明307

8.1 Jacobi方法的原理310

§8 Jacobi方法310

8.2 Jacobi过关法313

§9 Householder方法318

9.1 Householder变换319

9.2 对称矩阵的三对角化过程320

9.3 非对称矩阵的拟三角化过程326

§10 QL方法331

10.1 基本QL算法331

10.2 对称矩阵带位移的QL算法332

10.3 非对称矩阵带位移的QL算法344

§11 广义特征值问题348

11.1 化为标准特征值问题348

11.2 子空间迭代法354

11.3 广义Jacobi方法360

§12 应用举例366

第七章 常微分方程数值解法377

§1 Euler法及其改进378

1.1 Euler法378

1.2 改进的Euler法379

1.3 Euler法及改进的Euler法的误差380

§2 Runge-Kutta法383

§3 Adams法387

§4 一阶方程组与高阶方程的数值解法391

§5 收敛性与稳定性395

§6 步长的选择396

§7 边值问题的试射法398

§8 边值问题的差分法402

8.1 线性方程边值问题的差分法403

8.2 非线性方程边值问题的差分法406

§9 应用举例408