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第1章 求解方法概述1

1.1 梁弯曲挠度计算讨论1

1.1.1 弯曲问题分类理念1

1.1.2 梁内荷载级数特解4

1.1.3 梁端外界作用特解7

1.2 梁弯曲挠度计算的启示15

1.2.1 广义静定和广义超静定问题分类15

1.2.2 外界作用格式化16

1.2.3 微分方程解18

1.3 级数正交性及函数的级数展开19

1.4 结语23

第2章 弹性薄板弯曲25

2.1 弹性力学的基本方程25

2.1.1 平衡微分方程25

2.1.2 几何方程27

2.1.3 物理方程28

2.1.4 弹性力学问题解28

2.2 薄板小挠度弯曲平衡微分方程29

2.2.1 薄板弯曲计算假定29

2.2.2 板弯曲平衡微分方程30

2.3 薄板横截面内力和边界条件33

2.3.1 横截面内力与挠度w相关式33

2.3.2 扭矩的等效剪力35

2.3.3 边界条件36

2.4 矩形边界薄板弯曲经典解法39

2.4.1 四边简支板纳维叶解39

2.4.2 莱维解法40

2.4.3 经典叠加法42

2.5 矩形边界薄板弯曲统一解法基本思路46

2.5.1 广义静定弯曲与广义超静定弯曲分类46

2.5.2 外界作用连续化、格式化46

2.5.3 广义静定弯曲求解方法47

2.5.4 广义超静定弯曲求解方法52

2.6 四边支承矩形板52

2.6.1 通解和级数特解52

2.6.2 边界条件对应的线性方程组54

2.6.3 线性方程组系数行列式56

2.6.4 多项式特解57

2.6.5 通用规则58

2.7 三边支承、一边非支承矩形板60

2.7.1 通解和级数特解61

2.7.2 边界条件对应的线性方程组62

2.7.3 多项式特解63

2.8 一对边支承、一对边非支承矩形板67

2.8.1 通解和级数特解67

2.8.2 边界条件对应的线性方程组69

2.8.3 多项式特解70

2.9 二邻边支承、二邻边非支承矩形板72

2.9.1 通解和级数特解72

2.9.2 边界条件对应的线性方程组74

2.9.3 多项式特解75

2.10 一边支承、三边非支承矩形板76

2.10.1 通解和级数特解77

2.10.2 边界条件对应的线性方程组79

2.10.3 求解待定系数79

2.10.4 多项式特解80

2.11 四边非支承矩形板85

2.11.1 通解和级数特解85

2.11.2 边界条件对应的线性方程组88

2.11.3 求解待定系数88

2.12 逆向命题验算91

2.13 结语96

第3章 平面问题97

3.1 平面问题基本方程和边界条件97

3.1.1 两种平面问题97

3.1.2 平面问题平衡方程 几何方程 物理方程98

3.1.3 变形协调方程99

3.1.4 边界条件101

3.2 平面问题求解理念和方法103

3.2.1 广义静定问题与广义超静定问题分类103

3.2.2 外界作用连续化 格式化103

3.2.3 平面问题解的构成及求解特点103

3.2.4 广义静定问题求解方法105

3.2.5 广义超静定问题求解方法106

3.3 角点力作用应力解107

3.3.1 角点力作用下角部微元受力特征107

3.3.2 隔离体平衡法108

3.3.3 FOy作用应力解109

3.3.4 FBy作用应力解111

3.3.5 FAy作用应力解112

3.3.6 FCy作用应力解113

3.4 体力作用应力解114

3.4.1 体力作用格式化114

3.4.2 求解体力作用应力解116

3.5 计算边值条件解121

3.5.1 应力函数解的组成121

3.5.2 应力函数通解121

3.5.3 应力函数特解124

3.5.4 计算边值条件对应的线性方程125

3.6 四边法向自由平面问题127

3.6.1 应力函数128

3.6.2 计算边值条件对应的方程129

3.6.3 通用规则132

3.7 一边法向支承平面问题139

3.7.1 Nxl-Ny2类平面问题应力函数140

3.7.2 Nxl-Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程141

3.7.3 通用规则144

3.8 一对边法向支承平面问题153

3.8.1 Nx4-Ny1类平面问题应力函数154

3.8.2 Nx4-Ny1类平面问题计算边值条件对应的方程155

3.9 二邻边法向支承平面问题163

3.9.1 Nx2-Ny2类平面问题应力函数164

3.9.2 Nx2-Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程165

3.10 三边法向支承平面问题171

3.10.1 Nx4-Ny2类平面问题应力函数172

3.10.2 Nx4-Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程173

3.11 四边法向支承平面问题179

3.11.1 应力函数180

3.11.2 计算边值条件对应的方程181

3.12 结语187

第4章 弹性薄板自由振动189

4.1 板自由振动微分方程189

4.2 无点支承的矩形板190

4.2.1 基本思路190

4.2.2 振形曲面191

4.2.3 振形曲面的正交性193

4.2.4 降低频率方程行列式阶数194

4.3 非角点支承的矩形板203

4.3.1 边界内设有点支座204

4.3.2 边界上设有点支座206

4.4 角点支承的矩形板208

4.4.1 基本思路209

4.4.2 一边和一角点支承的矩形板209

4.4.3 利用对称性分析一边和二角点支承的矩形板212

4.4.4 二邻边和一角点支承的矩形板216

4.4.5 单角点、多角点支承的四边非支承矩形板218

4.4.6 四角点支承对称分布的四边非支承矩形板223

4.5 结语227

附录A 常见函数的三角级数展开系数228

A.1 函数在[0，a]区间展开为级数Σm=1，2，…sinαm x、αm=mπ/a228

A.2 函数在[0，a]区间展开为级数Σm=0，1，…cosαm x、αm=mπ/a229

A.3 函数在[0，a]区间展开为级数Σm=1，3，…sinλm x、λm=mπ/2a230

A.4 函数在[0，a]区间展开为级数Σm=1，3，…sinλm x、λm=mπ/2a231

A.5 函数在[0，b]区间展开为级数Σn=1，2，…sinβn y、βn=nπ/b232

A.6 函数在[0，b]区间展开为级数Σn=0，1，…cosβn y、βn=nπ/b233

A.7 函数在[0，b]区间展开为级数Σn=1，3，…sinγn y、γn=nπ/2b235

A.8 函数在[0，b]区间展开为级数Σn=1，3，…cosγn y、γn=nπ/2b236

附录B x轴向角点力作用应力解237

B.1 FOx作用237

B.2 FBx作用238

B.3 FAx作用239

B.4 FCx作用239

附录C 体力Fy作用应力解240

C.1 图C.1（a）所示Ny1-Px1类平面问题241

C.2 图C.1（b）所示Ny1-Px2类平面问题241

C.3 图C.1（c）所示Ny1-Px3类平面问题242

C.4 图C.1（d）所示Ny1-Px4类平面问题242

C.5 图C.1（e）所示Ny2-Px1类平面问题243

C.6 图C.1（f）所示Ny2-Px2类平面问题244

C.7 图C.1（g）所示Ny2-Px3类平面问题244

C.8 图C.1（h）所示Ny2-Px4类平面问题245

C.9 图C.1（i）所示Ny3-Px1类平面问题245

C.10 图C.1（j）所示Ny3-Px2类平面问题246

C.11 图C.1（k）所示Ny3-Px3类平面问题246

C.12 图C.1（l）所示Ny3-Px4类平面问题247

C.13 图C.1（m）所示Ny4-Px1类平面问题247

C.14 图C.1（n）所示Ny4-Px2类平面问题248

C.15 图C.1（o）所示Ny4-Px3类平面问题248

C.16 图C.1（p）所示Ny4-Px4类平面问题249

附录D 试算法确定平面问题特解φ21、φ22250

D.1 构造规则250

D.2 构造方法250

D.3 构造特解φ21x、φ22x252

D.4 构造特解φ21y、φ22y255

附录E 振形曲面正交性推导示例258

E.1 基本方法258

E.2 由三角函数特性和边界挠度 剪力条件计算R1260

E.3 由边界弯矩 转角条件计算R1264

E.4 由三角函数特性和边界挠度 剪力条件计算R2、R3265

E.5 由边界弯矩 转角条件计算R2.R3267

附录F 矩形板附加振形推导示例271

参考文献273