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第1章 距离与范数1

1.1 距离空间、极限与连续性1

1.2 距离空间的可分性、完备性与紧性4

1.2.1 可数集4

1.2.2 距离空间的可分性6

1.2.3 距离空间的完备性6

1.2.4 距离空间的列紧性8

1.3 压缩映射原理9

1.4 范数与赋范空间，Banach空间12

1.4.1 范数与赋范线性空间12

1.4.2 赋范线性空间的性质12

1.4.3 有限维赋范线性空间14

1.5 Hilbert空间，正交系16

1.5.1 内积的一般概念16

1.5.2 正交系17

1.6 向量范数，矩阵范数及其性质20

1.6.1 向量范数20

1.6.2 矩阵范数及其性质22

1.6.3 向量范数、矩阵范数的相容性28

1.7 矩阵的谱半径，条件数30

1.7.1 矩阵的谱半径30

1.7.2 矩阵序列及矩阵级数31

1.7.3 矩阵的条件数36

1.7.4 矩阵的条件数在误差估计中的应用36

第1章 习题39

第2章 矩阵的标准形与特征值计算42

2.1 λ－矩阵及标准形、不变因子和初等因子42

2.1.1 λ－矩阵的概念43

2.1.2 λ－矩阵的Smith标准形、不变因子和行列式因子44

2.1.3 初等因子47

2.2 Jordan标准形48

2.2.1 矩阵相似的条件48

2.2.2 矩阵的Jordan标准形48

2.2.3 Jordan标准形的应用53

2.3 酉相似标准形55

2.3.1 正规矩阵对角化56

2.3.2 正定矩阵59

2.4 特征值的隔离61

2.4.1 盖尔圆定理61

2.4.2 特征值的隔离63

2.5 特征值的幂迭代法、逆幂迭代法65

2.5.1 幂迭代法65

2.5.2 幂迭代法的加速69

2.5.3 逆幂迭代法69

第2章 习题71

第3章 矩阵分解与广义逆矩阵74

3.1 三角分解、满秩分解和奇异值分解74

3.1.1 Doolittle分解74

3.1.2 选列主元的 Doolittle分解76

3.1.3 Cholesky分解78

3.1.4 矩阵的QR分解79

3.1.5 矩阵的满秩分解80

3.1.6 矩阵的奇异值分解84

3.2 Penrose方程及其Moore－Penrose逆的计算86

3.2.1 Penrose方程86

3.2.2 Moore－Penrose逆的计算87

3.3 Moore－Penrose逆的性质94

第3章 习题98

第4章 线性方程组数值解法100

4.1 线性方程组的直接解法100

4.1.1 Gauss消去法100

4.1.2 直接三角分解解法105

4.2 广义逆矩阵求解矛盾方程组111

4.2.1 基本理论结果112

4.2.2 列满秩的LS问题114

4.2.3 秩亏损的LS问题116

4.3 线性方程组的迭代解法117

4.3.1 迭代法的一般概念117

4.3.2 J迭代法和G－S迭代法120

4.3.3 超松弛迭代方法125

4.4 极小化方法126

4.4.1 与方程组等价的变分问题126

4.4.2 最速下降法与共轭梯度法的定义128

4.4.3 共轭梯度法的计算公式130

4.4.4 共轭梯度法的性质133

4.4.5 预处理共轭梯度法135

第4章 习题136

第5章 最优化方法139

5.1 线性规划与单纯形法139

5.1.1 线性规划标准形及最优基本可行解139

5.1.2 单纯形方法原理140

5.1.3 单纯形表格法143

5.1.4 两阶段法和大M法146

5.2 非线性规划的最优性条件149

5.2.1 无约束规划问题的最优性条件149

5.2.2 带约束规划问题的最优性条件151

5.3 无约束非线性优化算法153

5.3.1 线性搜索154

5.3.2 最速下降法155

5.3.3 牛顿法157

5.3.4 共轭梯度法161

5.4 罚函数法164

5.4.1 外点罚函数法164

5.4.2 内点罚函数法168

5.4.3 广义乘子法170

5.5 组合优化问题175

5.6 模拟退火算法179

5.6.1 受热金属物体分子状态分布179

5.6.2 基本模拟退火算法181

5.6.3 模拟退火算法实现技术181

5.7 遗传算法183

5.7.1 基本遗传算法183

5.7.2 遗传算法实现技术184

第5章 习题188

第6章 函数逼近与数据拟合190

6.1 多项式插值190

6.1.1 Lagrange插值191

6.1.2 差商与Newton插值192

6.1.3 差分及等距节点的插值公式195

6.1.4 Hermite插值197

6.2 最小二乘法200

6.3 人工神经网络BP算法202

6.4 小波变换简介205

6.4.1 傅里叶变换与加窗傅里叶变换206

6.4.2 连续小波变换208

6.4.3 多尺度分析210

6.4.4 小波分解与重构算法（Mallat算法）214

6.4.5 小波变换的应用217

第6章 习题219

第7章 偏微分方程及其数值方法221

7.1 偏微分方程定解问题221

7.1.1 波动方程的定解问题221

7.1.2 热传导方程的定解问题223

7.1.3 Poisson方程的定解问题225

7.1.4 二阶偏微分方程的分类226

7.2 偏微分方程的解析解228

7.2.1 分离变量法228

7.2.2 积分变换法235

7.2.3 格林函数法238

7.3 偏微分方程求解的有限差分法242

7.3.1 椭圆型方程的有限差分法242

7.3.2 抛物型方程的有限差分法249

7.3.3 双曲型方程的有限差分解法264

7.4 偏微分方程的有限元方法271

7.4.1变分方法271

7.4.2 偏微分方程的有限元方法276

第7章 习题283

第8章 统计分析285

8.1 一元线性回归285

8.1.1 一元线性回归模型285

8.1.2 参数的最小二乘估计286

8.1.3 线性假设的显著性检验289

8.1.4 回归系数β1的区间估计291

8.1.5 因变量的预测292

8.1.6 可线性化的一元非线性回归294

8.2 多元线性回归297

8.2.1 多元线性回归模型297

8.2.2 参数的最小二乘估计299

8.2.3 线性假设的显著性检验301

8.2.4 回归系数βj的区间估计302

8.2.5 因变量的预测302

8.3 单因素方差分析303

8.3.1 单因素方差分析模型303

8.3.2 单因素方差分析的统计分析304

8.3.3 未知参数的估计307

8.4 贝叶斯（Bayes）统计分析308

8.4.1 贝叶斯统计的基本观点308

8.4.2 先验分布的选取312

8.4.3 贝叶斯统计中的参数估计317

8.4.4 贝叶斯统计中的假设检验319

8.5 多元正态分布的参数估计与假设检验321

8.5.1 多元正态分布的定义和性质321

8.5.2 多元正态分布的参数估计322

8.5.3 多元正态总体参数的假设检验325

第8章 习题329

参考文献331

附表332

附表1相关系数临界值表332

附表2标准正态分布函数表333

附表3 t分布上分位点表334

附表4 x2分布上分位点表335

附表5 F分布上分位点表337