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第1章 数学基础1

1.1一些概念1

1.2矩阵的几种标准分解2

1.2.1Jordan分解2

1.2.2Schur分解5

1.2.3奇异值分解10

1.3向量和矩阵的范数15

1.4和Hermite矩阵的特征值相关的几个结论20

1.5正交投影、子空间之间的距离和不变子空间22

1.6Poisson问题25

1.7并行计算简介27

1.8矩阵相乘的算法复杂度30

1.9和矩阵有关的几个概念31

习题32

第2章 正交化、最小二乘问题和正交相似变换37

2.1两种常用的正交变换工具37

2.1.1Householder变换37

2.1.2Givens变换42

2.2QR分解43

2.3最小二乘问题51

2.3.1最小二乘问题的性质51

2.3.2满秩的最小二乘解问题54

2.3.3秩亏的最小二乘解问题55

2.4线性无关向量组和Krylov子空间的正交化57

2.4.1线性无关向量组的Gram-Schmidt正交化58

2.4.2线性无关向量组的Householder正交化60

2.4.3Krylov子空间的正交化63

2.5正交相似变换69

习题76

第3章 线性方程组的直接法79

3.1引言79

3.2Gauss消去法79

3.2.1不选主元的Gauss消去法80

3.2.2完全主元Gauss消去法87

3.2.3程序的实现90

3.2.4列主元Gauss消去法95

3.3直接三角分解101

3.3.1不选主元的三角分解101

3.3.2选主元的三角分解102

3.4特殊矩阵的三角分解105

3.4.1对称矩阵的三角分解105

3.4.2带状矩阵的三角分解109

3.4.3追赶法114

3.5矩阵的条件数118

3.5.1矩阵的条件数引出118

3.5.2迭代的改进121

3.5.3矩阵的条件数的估算122

3.6误差分析125

3.6.1列主元消去法的舍入误差分析125

3.7不完全三角分解132

3.8大型稀疏矩阵的分解138

3.8.1稀疏矩阵的存储格式138

3.8.2解稀疏方程组的直接法140

3.8.3大型稀疏对称正定矩阵的三角分解142

3.8.4稀疏矩阵的QR分解159

3.8.5稀疏对称正定矩阵的Cholesky分解的并行实现168

习题170

第4章 线性方程组的迭代法177

4.1一般迭代法177

4.2Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代和SSOR迭代180

4.3迭代法的收敛性184

4.4加速方法188

4.4.1外推方法188

4.4.2Chebyshev加速方法189

4.5预处理的共轭梯度方法194

4.6多重网格方法198

4.6.1方法的引出198

4.6.2几何多重网格201

4.6.3代数多重网格206

4.7现代迭代法215

4.7.1FOM方法215

4.7.2GMRES方法220

4.7.3Lanczos方法223

4.7.4BICG，CGS和BICGSTAB迭代法227

4.7.5迭代法的比较233

4.8迭代法的并行实现235

4.8.1预处理的并行实现235

4.8.2计算和通信重叠的CG算法237

4.8.3并行的GMRES（m）算法239

习题239

第5章 矩阵特征值问题的数值计算244

5.1特征值问题中的一些结论244

5.2幂法及反幂法247

5.2.1幂法248

5.2.2反幂法252

5.2.3收缩方法253

5.3Jacobi方法255

5.4QR算法259

5.4.1QR算法及收敛性259

5.4.2QR算法的实现268

5.4.3QR算法的并行实现274

5.5对称矩阵的特征值计算275

5.6奇异值分解的计算279

5.7对称三对角矩阵的特征值计算285

5.7.1分而治之方法285

5.7.2对分法290

5.7.3QL方法292

5.8Lanczos方法求解大型稀疏对称矩阵的特征值296

5.9大型稀疏矩阵的特征值计算300

5.9.1子空间迭代300

5.9.2Rayleigh-Ritz投影方法303

5.9.3Arnoldi迭代307

5.9.4Jacobi-Davidson方法312

习题317

部分习题解答321

参考文献348