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部分精彩问题1

第1章 函数与数列的极限4

1.1 有关函数的问题4

1.2 关于数列{sin n}敛散性7

1.3 数列前n项均值的极限12

1.4 数列均值极限的推广15

1.5 递推数列的极限19

1.6 分式递推数列的极限23

1.7 斐波那契数列及相关极限29

1.8 递推数列的渐近性35

1.9 数列极限lim n→∞ n√n=1的求法40

1.10 一递推数列的几何解法及推广43

1.11 由递推公式an+1=an+1/an衍生出来的数列的收敛性46

第2章 导数与中值定理50

2.1 微分中值定理的应用50

2.2 几个导数不等式55

2.3 不等式sin x+tan x>2x的推广59

2.4 对数不等式的应用62

2.5 凸函数不等式的应用65

2.5.1 凸函数在微积分中的应用66

2.5.2 凸函数在初等不等式证明中的应用68

2.6 关于tan x和sec x的泰勒级数展开71

2.7 高阶导数有界的几个结果76

2.8 几个与e有关的数列不等式80

2.9 数e4是无理数的证明85

2.10 计算e的近似值到小数点后的10000位90

第3章 导数的应用94

3.1 光滑凸函数的一个极值问题94

3.2 抛物线中细棒中点的最低位置95

3.3 最大视角问题及推广98

3.3.1 最大视角的几何解法100

3.3.2 最大视角在日常生活中的应用101

3.3.3 圆周上的最大视角问题101

3.3.4 圆周上最大视角的实际意义（a>0）104

3.3.5 圆周上最大视角的几何解释104

3.4 圆内接三角形定周长的面积最大值105

3.5 椭圆内接三角形底边平行移动的最大面积问题107

3.6 椭圆内接多边形的最大面积111

3.7 过河问题的再讨论114

3.7.1 传统河边洗手的问题115

3.7.2 过河问题的演变115

3.7.3 过河问题的推广115

3.8 代数方程xn+knx=1正根的渐近性117

3.9 折纸问题中一个折痕最小值问题122

3.10 综合题125

第4章 不定积分、定积分129

4.1 反函数的不定积分129

4.2 典型定积分的计算方法130

4.2.1 利用几何图形计算130

4.2.2 巧用分部积分131

4.2.3 利用公式进行递推计算132

4.2.4 根据函数的符号来分区间计算132

4.2.5 利用函数的特性作变量代换133

4.2.6 几种方式综合起来进行计算133

4.2.7 经典的方法134

4.2.8 利用幂级数的和134

4.2.9 利用三角级数的和135

4.2.10 利用自变量变化时函数的递推公式136

4.2.11 化为已知的积分结果137

4.2.12 较强的计算功底138

4.3 几个常见的积分不等式138

4.3.1 流行不等式138

4.3.2 切比雪夫不等式140

4.3.3 康托洛维奇（Kantorovich）不等式141

4.3.4 由微分中值定理导出的积分不等式142

4.3.5 积分不等式杂例146

4.4 积分中值定理中间值的渐近性147

4.5 一个积分列的极限148

4.6 Wallis公式的收敛速度152

4.7 斯特林公式的证明及应用157

4.8 圆周率π是无理数的证明160

4.9 圆周率π的计算163

4.10 单调增加函数幂次积分序列∫1 0fn（x）dx=1/n+1的一个猜想167

4.11 被积函数的零点170

4.12 积分中核函数的应用172

4.13 函数广义矩唯一性问题175

4.14 一道积分竞赛题177

4.15 黎曼引理的证明180

4.16 求定积分∫∞ 0 sin x/x dx183

第5章 定积分的应用189

5.1 两个抛物线之间的定面积问题189

5.2 直线与圆锥曲线围成定面积其弦上定比例点的轨迹194

5.3 凸函数积分的极小值问题Ⅰ197

5.4 凸函数积分的极小值问题Ⅱ199

5.5 考研试题中一面积最小值问题的推广204

5.6 绕直线旋转的旋转体的体积计算208

5.7 斜锥的体积210

5.8 锥体的体积的一个性质213

5.9 单调函数满足lim x→∞ 1/x∫（t）dt=a的充要条件215

5.10 积分号下求最值的例子217

第6章 级数的收敛与应用220

6.1 幂级数在递推数列中的应用220

6.2 与e相关的级数展开224

6.3 关于p级数的讨论226

6.4 关于级数∞∑n=1 arctan 1/n2+n+1的和229

6.5 Sin x无穷乘积展开的初等证明232

6.6 傅里叶级数收敛定理及应用235

6.7 Γ（x）与B（p,q）函数的关系公式238

6.8 p项保号调和级数的求和240

6.9 关于级数的收敛的问题243

6.10 收敛保持函数248

6.11 黎曼级数的和ζ（2k）=∞∑n=1 1/n2k的一个递推公式249

6.12 利用二进制展开的例子252

6.13 求级数的和的方法举例255

第7章 与多项式函数相关的几个问题259

7.1 贝尔（Baire）纲定理的应用259

7.2 多项式函数的一个等价条件260

7.3 关于每个变量为多项式的函数f（x,y）就是一个二元的多项式函数262

7.4 多项式函数列收敛于多项式函数的条件263

7.5 圆上点的多项式逼近264

7.6 多项式函数与其导函数的几个性质265

7.7 取整函数［x］及最近整数距离函数‖x‖的应用269

第8章 其他综合问题272

8.1 多元函数的最值问题272

8.2 辅助函数277

8.3 一个追击问题281

8.4 旋轮线及最速下降速度282

8.5 线性函数相关命题的证明284

8.6 康托尔集和康托尔函数的简单性质289

8.7 向量积公式的简单证明291

8.8 与e相关的综合极限问题292

8.9 等周不等式的微积分证明295

8.10 圆锥曲线方程的解析几何推导298

参考文献303

索引305