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第1章 镜子的独白1

1.1谁是老实人1

1.1.1镜子呀镜子1

1.1.2谁是老实人3

1.1.3相同的回答7

1.1.4回答是沉默8

1.2逻辑谜题9

1.2.1爱丽丝、博丽丝和克丽丝9

1.2.2用表格来想10

1.2.3出题者的心思14

1.3帽子是什么颜色15

1.3.1不知道15

1.3.2对出题者的验证18

1.3.3镜子的独白19

第2章 皮亚诺算术23

2.1泰朵拉23

2.1.1皮亚诺公理23

2.1.2无数个愿望27

2.1.3皮亚诺公理PA128

2.1.4皮亚诺公理PA229

2.1.5养大32

2.1.6皮亚诺公理PA334

2.1.7小的？35

2.1.8皮亚诺公理PA436

2.2米尔嘉39

2.2.1皮亚诺公理PA542

2.2.2数学归纳法43

2.3在无数脚步之中49

2.3.1有限？无限？49

2.3.2动态？静态？50

2.4尤里52

2.4.1加法运算？52

2.4.2公理呢？53

第3章 伽利略的犹豫57

3.1集合57

3.1.1美人的集合57

3.1.2外延表示法58

3.1.3餐桌60

3.1.4空集61

3.1.5集合的集合62

3.1.6公共部分64

3.1.7并集67

3.1.8包含关系68

3.1.9为什么要研究集合71

3.2逻辑72

3.2.1内涵表示法72

3.2.2罗素悖论74

3.2.3集合运算和逻辑运算77

3.3无限79

3.3.1双射鸟笼79

3.3.2伽利略的犹豫83

3.4表示86

3.4.1归途86

3.4.2书店87

3.5沉默88

第4章 无限接近的目的地91

4.1家中91

4.1.1尤里91

4.1.2男生的“证明”92

4.1.3尤里的“证明”93

4.1.4尤里的“疑惑”96

4.1.5我的讲解97

4.2超市99

4.3音乐教室104

4.3.1字母的导入104

4.3.2极限106

4.3.3凭声音决定音乐108

4.3.4极限的计算111

4.4归途119

第5章 莱布尼茨之梦123

5.1若尤里，则非泰朵拉123

5.1.1“若……则……”的含义123

5.1.2莱布尼茨之梦126

5.1.3理性的界限？128

5.2若泰朵拉，则非尤里129

5.2.1备战高考129

5.2.2上课131

5.3若米尔嘉，则米尔嘉133

5.3.1教室133

5.3.2形式系统135

5.3.3逻辑公式137

5.3.4“若……则>……”的形式140

5.3.5公理142

5.3.6证明论143

5.3.7推理规则145

5.3.8证明和定理147

5.4不是我，还是我149

5.4.1家中149

5.4.2形式的形式150

5.4.3含义的含义152

5.4.4若“若……则……”，则……153

5.4.5邀约157

第6章？-δ语言159

6.1数列的极限159

6.1.1从图书室出发159

6.1.2到达阶梯教室160

6.1.3理解复杂式子的方法164

6.1.4看“绝对值”166

6.1.5看“若……则……”169

6.1.6看“所有”和“某个”170

6.2函数的极限174

6.2.1？-δ174

6.2.2？-δ的含义177

6.3摸底考试178

6.3.1上榜178

6.3.2静寂的声音、沉默的声音179

6.4“连续”的定义181

6.4.1图书室181

6.4.2在所有点处都不连续184

6.4.3是否存在在一点处连续的函数186

6.4.4逃出无限的迷宫187

6.4.5在一点处连续的函数！188

6.4.6诉衷肠192

第7章 对角论证法197

7.1数列的数列197

7.1.1可数集197

7.1.2对角论证法201

7.1.3挑战：给实数编号209

7.1.4挑战：有理数和对角论证法213

7.2形式系统的形式系统215

7.2.1相容性和完备性215

7.2.2哥德尔不完备定理222

7.2.3算术224

7.2.4形式系统的形式系统225

7.2.5词汇的整理229

7.2.6数项229

7.2.7对角化230

7.2.8数学的定理232

7.3失物的失物233

第8章 两份孤独所衍生的产物239

8.1重叠的对239

8.1.1泰朵拉的发现239

8.1.2我的发现245

8.1.3谁都没发现的事实246

8.2家中247

8.2.1自己的数学247

8.2.2表现的压缩247

8.2.3加法运算的定义251

8.2.4教师的存在254

8.3等价关系255

8.3.1毕业典礼255

8.3.2对衍生的产物257

8.3.3从自然数到整数258

8.3.4图259

8.3.5等价关系264

8.3.6商集268

8.4餐厅272

8.4.1两个人的晚饭272

8.4.2一对翅膀272

8.4.3无力考试275

第9章 令人迷惑的螺旋楼梯277

9.1 0/3π弧度277

9.1.1不高兴的尤里277

9.1.2三角函数279

9.1.3 sin45°282

9.1.4 sin60°286

9.1.5正弦曲线290

9.2. 2/3π弧度294

9.2.1弧度294

9.2.2教人296

9.3. 4/3π弧度297

9.3.1停课297

9.3.2余数298

9.3.3灯塔300

9.3.4海边303

9.3.5消毒304

第10章 哥德尔不完备定理307

10.1双仓图书馆307

10.1.1入口307

10.1.2氯308

10.2希尔伯特计划310

10.2.1希尔伯特310

10.2.2猜谜312

10.3哥德尔不完备定理316

10.3.1哥德尔316

10.3.2讨论318

10.3.3证明的概要320

10.4春天——形式系统P320

10.4.1基本符号320

10.4.2数项和符号322

10.4.3逻辑公式323

10.4.4公理324

10.4.5推理规则327

10.5午饭时间328

10.5.1元数学328

10.5.2用数学研究数学329

10.5.3苏醒329

10.6夏天——哥德尔数331

10.6.1基本符号的哥德尔数331

10.6.2序列的哥德尔数332

10.7秋天——原始递归性335

10.7.1原始递归函数335

10.7.2原始递归函数（谓词）的性质338

10.7.3表现定理340

10.8冬天——通往可证明性的漫长之旅343

10.8.1整理行装343

10.8.2数论344

10.8.3序列346

10.8.4变量·符号·逻辑公式348

10.8.5公理、定理、形式证明358

10.9新春——不可判定语句362

10.9.1“季节”的确认362

10.9.2种子——从含义的世界到形式的世界364

10.9.3绿芽——P的定义366

10.9.4枝杈——r的定义367

10.9.5叶子——从A1往下走368

10.9.6蓓蕾——从B1开始往下走369

10.9.7不可判定语句的定义369

10.9.8 梅花——IsProvable（g）370

10.9.9桃花——IsProvable（not（g））的证明372

10.9.10樱花——证明形式系统P是不完备的374

10.10不完备定理的意义376

10.10.1“‘我’是无法证明的”376

10.10.2第二不完备定理的证明之概要380

10.10.3不完备定理衍生的产物383

10.10.4数学的界限？384

10.11带上梦想386

10.11.1并非结束386

10.11.2属于我387

尾声391

后记395

参考文献和导读399