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目录1

第一章　数学建模入门1

1.1 从现实对象到数学模型1

1.1.1　原型和模型1

1.1.2　数学模型1

1.1.3　数学模型的分类方法2

1.1.4　数学建模的过程2

1.1.5　问题分析2

1.1.6　合理假设3

1.1.7　模型构造3

1.1.8　模型求解和检验3

1.1.9　在数学建模学习中一般应注意的几个方面4

1.2 数学建模示例7

1.2.1　椅子问题7

1.2.2　商人安全过河8

1.2.3　划艇比赛问题9

1.2.4　物价指数模型11

1.3 两个重要数学模型的建立14

1.3.1　万有引力定律的发现14

1.3.2　传染病的传播16

习题一20

第二章　微分方程模型22

2.1 微分（差分）方程基本知识22

2.1.1　线性差分方程22

2.1.2　差分方程的平衡点及其25

稳定性25

2.1.3　微分方程稳定性理论25

2.2 动物群体的生态模型28

2.2.1　单种群增长模型28

2.2.2　生物群体的竞争排斥模型30

2.3 经济模型32

2.3.1　基本概念32

2.3.2　最优积累率问题35

2.3.3　广告模型37

2.4 汽车交通流38

2.4.1　宏观交通流模型39

2.4.2　微观模型——线性汽车40

跟随模型40

2.5 药物分布的房室模型42

2.5.1　模型假设43

2.5.2　模型建立43

2.5.3　参数估计45

2.6 为什么采用三级火箭45

发射卫星45

2.6.1　单级火箭发射的可行性45

2.6.2　多级火箭系统47

2.7 最优捕鱼策略48

2.7.1　问题的提出48

2.7.3　问题分析49

2.7.2　问题重述49

2.7.4　基本假设50

2.7.5　模型建立50

2.8 用MATLAB解微分方程52

2.8.1　微分方程（组）的解析解52

2.8.2　微分方程（组）的数值解53

2.9 实例分析——油气产量和可56

开采储量的预测问题56

2.9.3　建立模型57

2.9.1　问题的提出57

2.9.2　模型假设57

2.9.4　求解过程58

2.9.5　结果分析59

习题二60

第三章　线性规划问题64

3.1 线性规划问题的数学模型64

3.1.1　实例64

3.1.3　将一般线性规划化为标准形式66

3.1.2　标准形式66

3.1.4　线性规划的图解法67

3.2 单纯形法70

3.2.1　基本单纯形法70

3.2.2　单纯形表72

3.2.3　求解线性规划的两阶76

段方法76

3.3 用LINGO软件包求解线性80

规划问题80

3.3.1　求解线性规划问题80

3.3.2　灵敏度分析82

3.3.3　有界线性规划问题83

3.3.4　整数规划84

3.3.5　0-1规划84

3.4 线性规划问题的应用85

3.4.1　投资问题85

3.4.2　装货问题87

3.4.3　疏散问题90

习题三93

第四章　动态规划97

4.1 最短路问题与动态规划的97

基本思想97

4.1.1　最短路问题97

4.1.2　问题的求解98

4.1.3　Bellman最优化原理100

4.2　资源分配问题101

4.3　背包问题105

4.4 多阶段生产安排问题107

4.5 用LINGO软件求解动态108

规划问题108

4.5.1　最短路问题108

4.5.2　投资分配问题109

4.5.3　背包问题110

习题四111

第五章　最优化模型112

5.1 最优化问题的数学模型112

5.1.1　无约束最优化问题112

5.1.2　约束最优化问题114

5.1.3　求解最优化问题的图解法116

5.2 一维搜索117

5.2.1　0.618法118

5.2.2　三点二次插值120

5.2.3　二点二次插值122

5.3 求解无约束问题的下降算法123

5.3.1　最速下降法123

5.3.2 Newton法125

5.3.3 变度量法127

5.3.4　共轭梯度法130

5.4　惩罚函数法133

5.5.2　求解约束最优化问题136

5.5.1　求解无约束最优化问题136

优化问题136

5.5 用LINGO软件包求解最136

5.5.3　求解二次规划问题137

5.5.4　最优化问题的应用——曲线拟合问题138

5.6 实例分析——飞行管理140

问题140

5.6.1　飞行管理问题140

5.6.2　数学模型的建立140

5.6.3　问题的求解141

习题五142

第六章　图论与网络模型145

6.1 图的基本概念145

6.1.1　从K？nigsberg（哥尼斯堡）七桥问题谈起145

6.1.2　图的基本概念145

6.1.3　连通性148

6.1.4　最短路问题149

6.2.2　Hamilton（哈密顿）圈151

6.2 Euler环游和Hamilton圈151

6.2.1　Euler环游151

6.2.3　中国邮递员问题152

6.2.4　旅行商问题152

6.2.5　工件排序问题153

6.2.6　竞赛参加者名次的排列153

6.3 树和生成树155

6.3.1　树155

6.3.2　无向生成树156

6.3.3　连线问题156

6.4 最大匹配157

6.4.1　定义与问题的描述157

6.4.2　最优匹配算法158

6.4.3　例子161

6.5 最大流问题164

6.5.1　定义与问题的描述164

6.5.2　主要结果和算法166

6.5.3　例子169

6.6 用LINGO软件包求解组合172

优化问题172

6.6.1　运输问题172

6.6.2　最优指派（最优匹配）问题173

6.6.3　最优连线问题175

6.6.4　旅行商问题177

6.6.5　最短路问题178

6.7 实例分析—通讯网络的最小180

生成树180

6.7.1　通讯网络的最小生成树180

6.7.2　问题的分析与求解181

习题六184

第七章 实用统计分析方法190

7.1 概率论初步190

7.1.1　概率190

7.1.2　随机变量191

7.1.3　常用的分布193

7.2 参数估计195

7.2.1　点估计195

7.2.2　估计量的优良性准则200

7.2.3　区间估计203

7.3 假设检验208

7.3.1 正态总体均值的假设检验209

7.3.2 正态总体方差的假设检验212

7.4 回归分析214

7.4.1　一元线性回归214

7.4.2　多元线性回归分析219

7.4.3　逐步回归222

7.5 方差分析226

7.5.1　单因素方差分析226

7.5.2　双因素方差分析231

7.6.1　距离判别236

7.6 判别分析236

7.6.2　Fisher判别241

7.7 实例分析——气象观察站244

的优化244

7.7.1　问题的提出244

7.7.2　假设244

7.7.3　分析245

7.7.4　问题的求解245

习题七249

第八章　计算机模拟254

8.1 概率分析与Monte Carlo方法254

8.1.1　概率分析254

8.1.2　Monte Carlo方法255

8.1.3　Monte Carlo方法的精度分析257

8.2 随机数的产生259

8.2.1　均匀分布随机数的产生259

8.2.2　均匀分布随机数的检验260

8.2.3　任意分布随机数的产生261

8.2.4 正态分布随机数的产生262

8.2.5　用R软件生成随机数263

8.3 系统模拟263

8.3.1　连续系统模拟264

8.3.2　离散系统模拟264

8.4 实例分析——倒煤台的操作268

方案268

8.4.1　问题的提出269

8.4.2　问题的分析269

8.4.3　问题的求解269

习题八271

第九章 LINGO软件包的使用272

9.1 LINGO软件简介272

9.1.1 从一个例子说起272

9.1.2 LINGO窗口命令274

9.1.3 LINGO函数276

9.2 LINGO软件中集的使用278

9.2.1 集（set）的使用278

9.2.2 访问集中的元素与＠FOR函数279

9.2.3 生成集282

9.3 LINGO软件中数据的调用与数据初始化288

9.3.1 数据段（DATA section）288

9.3.2 初始段（INIT section）290

9.3.3 用＠FILE函数引入数据文件291

9.4 LINGO软件中使用变量域292

函数292

9.4.1 整数变量292

9.4.2 自由变量和简单有界变量296

第十章 R软件包的使用298

10.1 R软件简介298

10.2.2　向量的算术运算299

10.2.1 向量与指派299

与矩阵299

10.2 简单操作：数字、向量299

10.2.3　产生有规律的序列300

10.2.4　逻辑变量300

10.2.5　矩阵301

10.2.6　矩阵的运算302

10.2.7　与矩阵运算有关的函数305

10.3.1　read.table（）函数307

10.3 从文件中读数据307

10.3.2　scan（）函数308

10.3.3　链接嵌入的数据库308

10.3.4　编辑数据309

10.4 概率分布309

10.4.1　各种概率分布函数309

10.4.2　检验数据集的分布310

10.4.3　单样本和双样本检验313

10.5.1　if语句315

10.5 循环与条件执行语句315

10.5.2　for循环316

10.5.3　repeat语句和while语句316

10.6 写你自己的函数316

10.6.1　简单的例子316

10.6.2　定义新的二元运算317

10.6.3　有名参数与省缺317

10.6.4　进一步的例子318

10.7 R中的统计模型320

10.7.1　定义统计模型与公式320

10.7.2　线性模型322

10.7.3　提取模型信息的通用函数322

10.7.4　方差分析与模型比较323

10.7.5　修正拟合模型323

10.7.6　广义线性模型324

10.7.7　非线性最小二乘和极大似然模型328

参考文献331