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绪论1

0-1 机械学中非线性问题的数学模型1

一、非线性代数方程组模型1

二、非线性常微分方程组模型1

三、非线性规划模型1

0-2 非线性代数方程组的解法综述2

一、准确解法2

二、求类解析解的消元法2

三、数值迭代法3

四、渐近解法6

第一章 一元方程的解法7

1-1 牛顿迭代法7

1-2 0.618法8

1-3 一元多项式方程的解法9

一、四次以下多项式方程的准确解9

二、斯图姆方法10

第二章 线性代数方程组的解法14

2-1 解线性方程组的直接法15

一、高斯列主元消去法15

二、豪斯霍尔德法16

四、系数矩阵为对角占优的三对角线矩阵的追赶法19

三、系数矩阵为对称正定矩阵的三角分解法19

2-2 解线性方程组的迭代法20

一、雅可比迭代法21

二、高斯-塞德尔迭代法21

三、收敛性22

四、超松弛迭代法23

2-3 矩阵特征值和特征向量24

一、求矩阵的逆矩阵25

二、矩阵特征值和特征向量的计算方法25

三、确定频率和振型的矩阵迭代法28

3-1 简单迭代法33

第三章 解非线性代数方程组的一般迭代法33

3-2 牛顿-拉夫逊法34

3-3 詹重禧法35

一、法式方程35

二、基本公式36

三、有关问题的讨论37

四、计算步骤38

第四章 区间分析法40

4-1 区间及其运算40

一、区间40

二、区间向量41

四、函数的区间扩展42

三、区间矩阵42

4-2 区间迭代法45

一、K-H算子45

二、摩尔检验46

三、迭代步骤47

四、程序框图及程序47

五、一元多项式方程的区间迭代法49

第五章 解多元多项式方程组的消元法50

5-1 结式消元法51

一、多项式的整除51

二、结式和结式消元52

三、结式消元法的程序56

5-2 吴方法60

一、基本概念和定义60

二、伪除法61

三、整序62

四、多项式方程组的零点集结构式64

5-3 聚筛法65

一、迪克逊导出方程组和迪克逊矩阵65

二、聚筛法的主要计算步骤66

5-4 基组结式消元法67

一、贝左结式67

二、对零点集结构式的改进68

三、基组结式消元法的主要计算步骤70

四、基组结式消元法的特点71

五、m≥n的结式消元法73

5-5 生成格鲁布纳基的一个改进算法76

一、布切伯格算法76

二、对布切伯格算法的改进80

5-6 综合消元法83

一、综合消元法的基本原理83

二、(PS)与(TS)同解的一个充分条件83

三、综合消元法的计算步骤84

6-1 插值逼近86

第六章 函数逼近、数值微积分和常微分方程的数值解法86

一、拉格朗日插值多项式87

二、埃尔米特插值87

三、分段三次埃尔米特插值89

四、三次样条插值89

6-2 一致逼近93

一、逼近多项式的存在性93

二、最佳逼近多项式的性质94

三、里米兹算法95

四、契比雪夫多项式96

五、幂级数项数的节约98

一、函数族的正交和线性无关99

6-3 平方逼近99

二、用线性无关函数族作平方逼近101

三、用正交函数族作平方逼近102

四、用勒让德多项式作平方逼近102

五、用契比雪夫多项式作平方逼近104

6-4 曲线拟合的最小二乘法105

一、最小二乘法105

二、用正交函数作最小二乘拟合106

6-5 定积分的数值计算108

一、数值求积的基本方法108

三、插值型求积公式109

二、求积公式的代数精度109

四、高斯公式112

五、复化求积法115

六、龙贝格算法116

6-6 导数的数值计算120

一、机械求导公式120

二、插值型求导公式120

三、样条求导公式122

6-7 常微分方程初值问题的数值解法123

一、欧拉方法123

二、龙格-库塔法125

三、线性多步法129

四、线性四步法的最优系数131

五、常微分方程组初值问题的解法134

六、高阶常微分方程(或方程组)初值问题的解法135

6-8 常微分方程边值问题的数值解法136

一、试射法(又称打靶法)136

二、差分法137

第7章 同伦法140

7-1 一般方程组的同伦算法140

一、同伦算子及同伦方程组140

二、同伦方程组的解法141

一、贝左数和齐次数143

7-2 确定多项式方程组所有孤立零点的同伦解法143

二、变元分组145

三、根据贝左数确定多项式方程组全部孤立零点的同伦解法146

四、根据齐次数确定多项式方程组全部孤立零点的齐次化方法149

五、系数同伦法151

7-3 实数同伦法152

一、实数同伦法的理论根据152

二、程序编制中应解决的几个具体问题154

三、实数同伦算法155

四、实数同伦法算例156

一、近似同伦法1157

7-4 近似同伦法157

二、近似同伦法2159

第八章 分解法161

8-1 概述161

8-2 阿杜美因多项式162

一、阿杜美因多项式的统一表达式162

二、正幂函数的阿杜美因多项式163

三、指数函数的阿杜美因多项式164

四、负幂函数的阿杜美因多项式165

五、正弦函数的阿杜美因多项式165

六、余弦函数的阿杜美因多项式166

8-3 非线性方程的渐近解167

8-4 分解法在解常微分方程中的应用169

一、初值问题的解法169

二、边值问题的解法176

8-5 分解法在解偏微分方程中的应用178

一、一阶偏微分方程178

二、二阶编微分方程180

第九章 约束最优化问题的实用算法184

9-1 增广乘子法184

一、构造函数184

三、PHR法的特点185

二、计算步骤185

9-2 同伦优化法186

一、K-T条件186

二、等式约束优化问题的非线性方程组模型187

三、不等式约束优化问题的非线性方程组模型188

四、一般约束优化问题的非线性方程组模型190

五、数值计算192

9-3 约束优化问题的直接算法194

一、网格法194

二、随机试验法195

三、正交计算设计法196

9-4 遗传算法199

一、遗传算法的基本流程199

二、参数编码199

三、初始代群体的生成200

四、适应度函数200

五、遗传操作202

六、遗传算法的计算步骤205

七、收敛性分析206

主要参考文献212

一、主要引文212

二、作者近期论著214