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第一篇 微积分1

第一章 函数 极限 连续1

考点与要求1

1函数1

内容精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式4

例题分析5

一、求复合函数的定义域5

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数6

三、求分段函数的复合函数的表达式6

四、求反函数的表达式7

五、关于函数有界（无界）的讨论9

2极限10

内容精讲10

一、定义10

二、重要性质、定理、公式11

三、计算极限的一些有关方法12

例题分析14

一、求函数的极限14

二、已知某极限，求其中的某些参数，或已知两个无穷小为同阶、等价或高阶，求某些参数21

三、已知某些极限求另一些极限26

四、无穷小的比较28

五、求以极限表示的函数的表达式29

六、极限运算定理的正确运用30

3函数的连续与间断33

内容精讲33

一、定义33

二、重要性质、定理、公式34

例题分析34

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断，并说明间断点的类型34

二、讨论分段函数的连续性，或由连续性确定其中某些参数35

三、讨论由极限定义的函数的连续性36

四、运算定理的正确使用37

五、连续函数的零点问题38

自测题39

自测题答案与提示41

第二章 一元函数微分学47

考点与要求47

1导数与微分，导数的计算47

内容精讲47

一、定义47

二、重要性质、定理、公式48

例题分析51

一、按定义求一点处的导数51

二、已知某些极限，求函数在指定点处的导数，或讨论函数在指定点处的可导性52

三、已知f（x）在某点x=a处可导，求与此有关的极限54

四、已知f（x）在某点x=a处存在二阶导数，求与此有关的极限55

五、可导条件下求某些参数55

六、讨论函数的微分与函数的增量间的大小关系或者无穷小的阶的高低57

七、讨论由极限式定义的函数的可导性58

八、绝对值函数的导数58

九、隐函数求导数，由某方程确定的函数求极限59

十、求导数的计算题61

2导数的应用62

内容精讲62

一、定义62

二、重要性质、定理、公式与方法63

例题分析65

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论65

二、最大值、最小值问题69

三、渐近线70

3中值定理、不等式与零点问题71

内容精讲71

一、重要定理71

二、重要方法73

例题分析74

一、不等式的证明74

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题78

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点80

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点81

五、“双中值”问题82

六、零点的个数问题82

七、证明存在某ξ满足某不等式83

八、lim？f′（x）与f′（x0）的关系84

九、f′（x）与f （x）的一些极限性质的关系86

十、关于奇函数、偶函数、周期函数的导数的性质86

自测题87

自测题答案与提示90

第三章 一元函数积分学98

考点与要求98

1不定积分与定积分的概念、性质、理论98

内容精讲98

一、定义98

二、重要性质、定理、公式99

例题分析101

一、分段函数的不定积分与定积分101

二、定积分与原函数的存在性104

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分105

2不定积分与定积分的计算108

内容精讲108

一、基本积分公式108

二、基本积分方法109

例题分析111

一、简单有理分式的积分111

二、三角函数的有理分式的积分113

三、简单无理式的积分113

四、两种不同类型的函数相乘的积分115

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分117

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分118

七、含参变量带绝对值号的定积分121

3反常积分及其计算122

内容精讲122

一、定义122

二、重要性质、定理、公式123

例题分析124

一、反常积分的计算124

二、关于奇、偶函数的反常积分126

三、关于反常积分敛散性的判定127

4一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用129

内容精讲129

一、定义129

二、重要性质、定理、公式与方法131

例题分析132

一、几何应用132

二、经济上的应用135

5定积分的证明题139

内容精讲139

例题分析139

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等139

二、由积分定义的函数求极限141

三、积分不等式的证明142

四、零点问题145

自测题147

自测题答案与提示151

第四章 多元函数微积分学161

考点与要求161

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分161

内容精讲161

一、多元函数161

二、二元函数的极限与连续162

三、二元函数的偏导数与全微分162

例题分析164

一、讨论二重极限164

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性166

三、讨论二元函数的可微性168

2多元函数的微分法171

内容精讲171

例题分析173

一、求复合函数的偏导数与全微分173

二、求隐函数的偏导数与全微分181

3极值与最值185

内容精讲185

例题分析186

一、无条件极值问题186

二、条件极值（最值）问题189

三、多元函数的最大（小）值问题190

4二重积分195

内容精讲195

例题分析198

一、计算二重积分198

二、累次积分交换次序及计算208

三、与二重积分有关的综合题211

四、与二重积分有关的积分不等式问题214

自测题216

自测题答案与提示220

第五章 无穷级数229

考点与要求229

1常数项级数229

内容精讲229

例题分析231

一、正项级数敛散性的判定231

二、交错级数敛散性的判定237

三、任意项级数敛散性判定239

四、有关常数项级数的证明题与综合题244

2幂级数246

内容精讲246

例题分析248

一、求函数项级数的收敛域248

二、将函数展开为幂级数251

三、级数求和254

3傅里叶级数260

内容精讲260

例题分析260

自测题261

自测题答案与提示265

第六章 常微分方程及差分方程270

考点与要求270

1常微分方程270

内容精讲270

一、微分方程的基本概念270

二、常见的几类一阶方程及解法271

三、高阶线性方程271

例题分析273

一、微分方程求解273

二、微分方程的综合题279

三、微分方程的应用282

2差分及一阶差分方程285

内容精讲285

例题分析286

自测题287

自测题答案与提示288

第二篇 线性代数293

第一章 行列式293

考点与要求293

内容精讲293

例题分析296

一、数字型行列式的计算297

二、抽象型行列式的计算304

三、行列式|A|是否为零的判定306

四、关于代数余子式求和307

自测题309

自测题答案与提示310

第二章 矩阵313

考点与要求313

内容精讲313

1矩阵的概念及运算313

一、矩阵的概念313

二、矩阵的运算314

三、矩阵的运算规则315

四、特殊矩阵316

2可逆矩阵316

一、可逆矩阵的概念316

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件316

三、逆矩阵的运算性质317

四、求逆矩阵的方法317

3初等变换、初等矩阵317

一、定义317

二、初等矩阵与初等变换的性质318

4矩阵的秩318

一、矩阵秩的概念319

二、矩阵秩的公式319

5分块矩阵319

一、分块矩阵的概念319

二、分块矩阵的运算320

例题分析321

一、矩阵的概念及运算321

二、特殊方阵的幂325

三、伴随矩阵的相关问题329

四、可逆矩阵的相关问题333

五、初等变换、初等矩阵337

六、矩阵秩的计算340

七、矩阵方程的求解343

自测题346

自测题答案与提示348

第三章 向量350

考点与要求350

内容精讲350

1向量、向量组的线性相关性350

2极大线性无关组、秩352

3内积，正交规范化方法354

例题分析355

一、线性相关性的判别355

二、向量的线性表示358

三、向量组线性无关的证明360

四、秩、极大线性无关组365

五、正交矩阵、施密特正交化方法371

自测题373

自测题答案与提示375

第四章 线性方程组377

考点与要求377

内容精讲377

1克莱姆法则377

2齐次线性方程组378

3非齐次线性方程组379

例题分析381

一、线性方程组的基本概念题381

二、线性方程组的求解386

三、基础解系392

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A395

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系397

六、两个方程组的公共解399

七、同解方程组401

八、线性方程组的有关杂题404

自测题407

自测题答案与提示409

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵411

考点与要求411

内容精讲411

1特征值、特征向量411

一、定义411

二、特征值的性质411

三、求特征值、特征向量的方法412

2相似矩阵、矩阵的相似对角化412

一、定义412

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件412

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件413

3实对称矩阵的相似对角化413

一、定义413

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化413

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤414

例题分析414

一、特征值，特征向量的求法414

二、两个矩阵有相同的特征值的证明419

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法420

四、矩阵是否相似于对角阵422

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数424

六、由特征值、特征向量反求A426

七、矩阵相似及相似标准形428

八、相似对角阵的应用435

自测题440

自测题答案与提示442

第六章 二次型445

考点与要求445

内容精讲445

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵445

一、二次型概念445

二、二次型的矩阵表示445

2化二次型为标准形、规范形、合同二次型446

一、定义446

3正定二次型、正定矩阵448

一、定义448

例题分析448

一、二次型的矩阵表示448

二、化二次型为标准形、规范形450

三、合同矩阵、合同二次型459

四、正定性的判别463

五、正定二次型的证明468

六、综合杂题470

自测题473

自测题答案与提示475

第三篇 概率论与数理统计478

第一章 随机事件与概率478

考点与要求478

1事件、样本空间、事件间的关系与运算478

内容精讲478

例题分析481

2概率、条件概率、独立性和五大公式482

内容精讲482

例题分析484

3古典概型与伯努利概型489

内容精讲489

例题分析490

自测题492

自测题答案与提示494

第二章 随机变量及其概率分布500

考点与要求500

1随机变量及其分布函数500

内容精讲500

例题分析501

2离散型随机变量和连续型随机变量502

内容精讲502

例题分析503

3常用分布505

内容精讲505

例题分析507

4随机变量函数的分布511

内容精讲511

例题分析511

自测题513

自测题答案与提示515

第三章 多维随机变量及其分布521

考点与要求521

1二维随机变量及其分布521

内容精讲521

例题分析524

2随机变量的独立性529

内容精讲529

例题分析529

3二维均匀分布和二维正态分布535

内容精讲535

例题分析536

4两个随机变量函数Z= g（X，Y）的分布538

内容精讲538

例题分析539

自测题545

自测题答案与提示548

第四章 随机变量的数字特征556

考点与要求556

1随机变量的数学期望和方差556

内容精讲556

例题分析558

2矩、协方差和相关系数566

内容精讲566

例题分析567

3切比雪夫不等式575

内容精讲575

例题分析575

自测题576

自测题答案与提示578

第五章 大数定律和中心极限定理585

考点与要求585

内容精讲585

例题分析586

自测题588

自测题答案与提示589

第六章 数理统计的基本概念592

考点与要求592

1总体、样本、统计量和样本数字特征592

内容精讲592

例题分析594

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布595

内容精讲595

例题分析598

自测题602

自测题答案与提示603

第七章 参数估计608

考点与要求608

1点估计608

内容精讲608

例题分析608

2估计量求法613

内容精讲613

例题分析615

自测题617

自测题答案与提示619