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第一章 近世代数与拓扑1

1.1 代数基本概念1

1.1.1 逻辑与集合1

1.1.2 映射、积与关系5

1.1.3 超穷数、势9

1.1.4 代数运算、同态与同构11

1.2 群13

1.2.1 半群、群、子群与同态14

1.2.2 变换群、置换群、循环群17

1.2.3 陪集、不变子群与商群21

1.2.4 对称群、交错群、正多边形群24

1.3 环、域与代数26

1.3.1 环、子环、除环与域27

1.3.2 理想、同态、剩余类环29

1.3.3 交换环、代数、张量积33

1.4 模与范畴35

1.4.1 模、同态与正合序列36

1.4.2 自由模与向量空间38

1.4.3 范畴与态射39

1.4.4 函子41

1.5 拓扑空间42

1.5.1 拓扑空间、拓扑基43

1.5.2 连续映射与同胚47

1.5.3 子空间、积空间51

1.6 拓扑空间基本性质54

1.6.1 拓扑空间的连通性54

1.6.2 拓扑空间的分离性公理56

1.6.3 拓扑空间的紧致性59

习题62

参考文献64

第二章 非线性泛函分析初步65

2.1 非线性算子65

2.1.1 连续性、有界性和全连续性65

2.1.2 微分75

2.1.3 积分84

2.1.4 高阶微分88

2.1.5 隐函数定理92

2.1.6 反函数定理99

2.2.1 布劳威尔度100

2.2 拓扑度理论100

2.2.2 列雷-绍德尔度116

2.2.3 不动点定理120

2.3 泛函微分方程122

2.3.1 基本理论122

2.3.2 周期解125

2.3.3 稳定性130

习题135

参考文献138

第三章 微分流形及其应用140

3.1 微分流形与可微映射140

3.1.1 微分流形140

3.1.2 可微映射147

3.1.3 切向量和切空间153

3.1.4 映射的微分、余切空间161

3.1.5 黎曼流形168

3.2 微分形式171

3.2.1 格拉斯曼代数171

3.2.2 微分形式174

3.2.3 外微分178

3.2.4 庞卡莱引理及逆命题183

3.2.5 对偶映射185

3.3 流形上的积分186

3.3.1 体形式与可定向流形186

3.3.2 流形上的积分191

3.3.3 斯托克斯定理194

3.4.1 临界点、萨特定理198

3.4 临界点理论概述198

3.4.2 莫尔斯理论200

3.4.3 横截性理论205

习题209

参考文献211

第四章 偏微分方程的现代理论213

4.1 广义函数论213

4.1.1 广义函数空间214

4.1.2 广义函数的卷积与傅里叶变换理论216

4.1.3 线性偏微分方程的基本解223

4.2 索伯列夫空间论226

4.2.1 索伯列夫空间226

4.2.2 嵌入定理235

4.3.1 二阶线性椭圆型方程的狄利克莱问题240

4.3 二阶线性椭圆型方程240

4.3.2 广义解及其正则性259

4.4 半群理论及其应用267

4.4.1 C0半群理论267

4.4.2 发展方程的初值问题275

习题278

参考文献279

第五章 小波分析及应用280

5.1 从频率分析到尺度分析280

5.1.1 时频局部化与窗口傅里叶变换280

5.1.2 连续小波变换283

5.1.3 奇异信号在小波变换下的特征285

5.2.1 多尺度分析与正交小波基287

5.2 正交小波287

5.2.2 快速小波算法299

5.2.3 小波与函数空间308

5.2.4 向量小波基310

5.3 双正交小波基314

5.4 小波包与最优算法317

5.4.1 小波包与算法317

5.4.2 信息花费函数与最优基选择324

5.4.3 快速近似主因子分析328

5.4.4 局部正(余)弦基332

5.5 小波与快速数值算法340

习题346

参考文献347

附：中英文名词索引348