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第1章 测度论基础1

1.1 可测空间1

1.1.1 集合与函数1

1.1.2 集合系5

1.1.3 集合系的生成8

1.1.4 可测空间的生成10

1.1.5 开集，闭集与Borel集12

1.2 测度空间14

1.2.1 测度的定义与性质14

1.2.2 外测度20

1.2.3 测度的扩张23

1.2.4 Lebesgue-Stieljes测度和Lebesgue测度26

1.3 可测函数28

1.3.1 可测函数的定义与性质28

1.3.2 可测函数序列的收敛性37

1.3.3 Lebesgue可测函数40

1.4 关于测度的积分41

1.4.1 非负简单函数的积分41

1.4.2 非负可测函数的积分42

1.4.3 一般可测函数的积分43

1.4.4 积分的性质45

1.4.5 Lp（Ω，g，μ）空间51

1.5 符号测度57

1.5.1 分解定理57

1.5.2 Radon-Nikodym导数58

1.6 乘积空间62

1.6.1 有限维乘积空间62

1.6.2 可列维乘积空间69

1.6.3 任意无穷维乘积空间70

第2章 概率论基础74

2.1 从测度论到概率论74

2.1.1 概率论中的基本概念74

2.1.2 分布函数75

2.1.3 从分布函数到概率测度75

2.1.4 Lebesgue-Stieljes积分77

2.1.5 随机变量的分类77

2.2 数学期望78

2.2.1 数学期望的性质78

2.2.2 一致可积81

2.2.3 随机序列的收敛性83

2.3 条件期望86

2.3.1 初等情形86

2.3.2 一般情形89

2.3.3 正则条件概率93

2.3.4 关于X的给定值的情形98

2.4 乘积空间的概率测度101

2.4.1 可列维乘积空间的概率构造101

2.4.2 Kolmogorov定理105

2.5 独立随机变量序列107

2.5.1 独立性107

2.5.2 0-1律110

2.5.3 独立随机变量序列的部分和111

2.5.4 独立随机变量的级数112

2.5.5 特征函数115

第3章 随机过程117

3.1 随机过程的定义与构造117

3.2 随机过程的性质120

3.2.1 可测性120

3.2.2 连续性121

3.2.3 可分性123

3.2.4 可测，连续与可分的关系126

3.3 停时131

3.3.1 停时τ的定义131

3.3.2 τ前σ域133

3.3.3 随机区间与首遇时137

3.4 鞅论139

3.4.1 鞅139

3.4.2 鞅列141

3.4.3 连续参数的鞅150

3.5 一些常用的随机过程157

3.5.1 独立增量过程157

3.5.2 Markov过程160

3.5.3 Wiener过程165

第4章 随机微分方程168

4.1 Ito积分168

4.1.1 Ito积分的定义168

4.1.2 Ito公式173

4.1.3 Ito积分的鞅不等式178

4.2 随机微分方程的解180

4.2.1 解的定义180

4.2.2 Lipschitz条件181

4.2.3 局部工ipschitz条件185

4.2.4 解过程的Markov性质189

4.3 随机稳定性191

4.3.1 随机稳定性的定义191

4.3.2 可积性与一致连续性191

4.3.3 随机Barbalat引理193

4.3.4 扩散过程的Barbalat引理195

4.3.5 随机LaSalle型定理198

第5章 随机系统的建模与模拟200

5.1 平稳过程的定义200

5.1.1 严平稳过程200

5.1.2 二阶矩过程200

5.1.3 宽平稳过程201

5.1.4 正态过程201

5.2 平稳过程的谱分析202

5.2.1 平稳过程的谱分解202

5.2.2 白噪声203

5.2.3 平稳过程通过线性系统的分析203

5.2.4 利用Matlab生成宽平稳过程206

5.3 从白噪声到随机微分方程207

5.3.1 广义Wiener过程207

5.3.2 Ito积分与Stratonovich积分209

5.3.3 随机系统的建模与仿真211

附录A 矩阵范数与卷积212

A.1 矩阵范数212

A.2 卷积213

附录B 积分变换与谱分析215

B.1 Fourier变换与频谱分解215

B.1.1 普通周期函数的Fourier级数215

B.1.2 普通时间函数的Fourier变换216

B.1.3 普通时间函数的频谱与能谱的概念216

B.1.4 Fourier变换的性质217

B.2 Laplace变换219

B.3 线性系统的谱分析220

B.3.1 系统的脉冲响应220

B.3.2 系统的频率响应221

B.3.3 系统的谱222

参考文献223

索引225