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1 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 常量与变量1

1.1.2 函数的概念1

1.1.3 函数的表示法2

1.1.4 函数的几个特性3

1.1.5 反函数3

1.1.6 函数概念的应用4

1.2 初等函数5

1.2.1 基本初等函数5

1.2.2 复合函数6

1.2.3 初等函数6

1.3 极坐标7

1.3.1 极坐标系的概念7

1.3.2 点的极坐标与直角坐标的互化7

1.3.3 曲线的极坐标方程9

1.4 极限9

1.4.1 数列的极限9

1.4.2 函数的极限10

1.4.3 无穷小量与无穷大量12

1.5 函数极限的运算14

1.5.1 函数的极限运算法则14

1.5.2 未定式的极限运算14

1.5.3 两个重要极限16

1.5.4 极限模型17

1.6 函数的连续性18

1.6.1 函数的增量18

1.6.2 函数的连续与间断19

1.6.3 初等函数的连续性20

1.6.4 闭区间上连续函数的性质21

习题122

2 导数与微分26

2.1 导数的概念26

2.1.1 导数概念26

2.1.2 可导与连续的关系28

2.2 导数公式与求导法则28

2.2.1 导数公式28

2.2.2 导数的四则运算法则29

2.2.3 反函数的求导法则31

2.2.4 复合函数的求导法则32

2.2.5 隐函数求导方法33

2.2.6 取对数求导方法34

2.2.7 参数方程的求导方法35

2.2.8 高阶导数35

2.3 变化率模型36

2.3.1 独立变化率模型36

2.3.2 相关变化率模型37

2.3.3 边际函数38

2.4 函数的微分39

2.4.1 微分的概念39

2.4.2 微分的计算41

2.4.3 微分在近似计算中的应用42

2.4.4 微分在误差估计中的应用43

习题244

3 导数的应用46

3.1 中值定理46

3.1.1 罗尔定理46

3.1.2 拉格朗日中值定理47

3.1.3 柯西中值定理48

3.2 罗必达法则49

3.3 函数性态的研究52

3.3.1 函数的单调性和极值52

3.3.2 曲线的凹凸性与拐点56

3.3.3 曲线的渐近线58

3.3.4 函数图形的描绘60

3.4 函数展为幂级数63

3.4.1 用多项式近似表示函数63

3.4.2 常用的几个函数的幂级数展开式65

习题368

4 不定积分70

4.1 不定积分的概念与性质70

4.1.1 原函数70

4.1.2 不定积分的概念71

4.1.3 不定积分的几何意义71

4.1.4 不定积分的简单性质72

4.2 不定积分的基本公式72

4.2.1 基本公式72

4.2.2 直接积分法73

4.3 两种积分法74

4.3.1 换元积分法74

4.3.2 分部积分法81

习题484

5 定积分及其应用86

5.1 定积分的概念86

5.1.1 两个实际问题86

5.1.2 定积分的概念87

5.2 定积分的简单性质88

5.3 定积分的计算90

5.3.1 牛顿－莱布尼茨公式90

5.3.2 定积分的换元法和分部积分法92

5.4 定积分的应用94

5.4.1 平面图形的面积94

5.4.2 旋转体的体积96

5.4.3 变力作功98

5.4.4 液体压力99

5.4.5 定积分在医学上的应用100

5.5 定积分的近似计算101

5.6 反常积分和Γ函数103

5.6.1 反常积分103

5.6.2 Γ函数106

习题5107

6 微分方程110

6.1 微分方程的基本概念110

6.1.1 引出微分方程的两个实例110

6.1.2 常微分方程111

6.1.3 常微分方程的解111

6.2 常见微分方程的解法112

6.2.1 可分离变量的微分方程112

6.2.2 齐次方程113

6.2.3 一阶线性微分方程114

6.2.4 贝努利方程116

6.2.5 可降阶的二阶微分方程117

6.2.6 二阶常系数线性微分方程119

6.2.7 二阶常系数非齐次线性微分方程123

6.3 拉普拉斯变换125

6.3.1 拉普拉斯变换及逆变换125

6.3.2 拉氏变换及逆变换性质126

6.3.3 拉氏变换解初值问题127

6.4 微分方程的应用128

6.4.1 化学反应速率模型128

6.4.2 医学模型129

6.4.3 药学模型130

习题6132

7 多元函数微分学136

7.1 预备知识136

7.1.1 空间直角坐标系136

7.1.2 向量代数137

7.1.3 二次曲面简介140

7.1.4 柱面141

7.2 多元函数与极限141

7.2.1 多元函数的概念141

7.2.2 二元函数的极限142

7.2.3 二元函数的连续性144

7.3 多元函数的偏导数145

7.3.1 偏导数的概念与计算145

7.3.2 偏导数的几何意义146

7.3.3 偏导数与连续的关系147

7.3.4 高阶偏导数147

7.4 多元函数的全微分148

7.4.1 全增量与全微分的概念148

7.4.2 全微分在近似计算上的应用150

7.5 复合函数的微分法151

7.5.1 链式法则151

7.5.2 全微分形式不变性153

7.6 多元函数的极值154

7.6.1 极大值和极小值154

7.6.2 最大值和最小值155

习题7156

8 多元函数积分学159

8.1 二重积分的概念与性质159

8.1.1 二重积分定义159

8.1.2 二重积分的性质160

8.2 二重积分的计算161

8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算161

8.2.2 极坐标系下二重积分的计算163

8.3 二重积分的应用164

8.3.1 二重积分的几何应用164

8.3.2 二重积分的物理应用165

8.3.3 利用二重积分计算无穷积分166

8.4 对坐标的曲线积分167

8.4.1 对坐标曲线积分的定167

8.4.2 对坐标曲线积分的性质168

8.4.3 对坐标曲线积分的计算169

8.4.4 特殊路径上曲线积分的计算170

8.4.5 曲线积分模型171

8.5 格林公式172

8.5.1 曲线积分与二重积分的关系172

8.5.2 曲线积分计算平面图形面积173

8.5.3 曲线积分与路径无关的条件173

8.5.4 二元函数的全微分求积175

习题8176

9 线性代数初步179

9.1 行列式179

9.1.1 行列式概念179

9.1.2 行列式的性质182

9.1.3 行列式的计算183

9.2 矩阵184

9.2.1 矩阵概念184

9.2.2 矩阵加法185

9.2.3 数乘矩阵186

9.2.4 矩阵乘法187

9.2.5 转置矩阵189

9.3 逆矩阵189

9.3.1 方阵189

9.3.2 逆矩阵190

9.3.3 可逆的充要条件191

9.3.4 逆矩阵的计算191

9.4 矩阵的初等变换与线性方程组193

9.4.1 矩阵的秩193

9.4.2 利用初等变换求矩阵的逆矩阵195

9.4.3 矩阵初等行变换与线性方程组196

9.4.4 矩阵的特征值与特征向量200

习题9201