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第1篇 最优控制与变分方法2

第1章 变分法简介2

1.1 泛函极值问题实例2

1.2 泛函的极值5

1.2.1 极值的定义5

1.2.2 极值曲线与绝对极值6

1.3 泛函的变分8

1.3.1 变分的定义和性质8

1.3.2 泛函极值的必要条件12

1.4 无约束变分问题13

1.4.1 必要条件13

1.4.2 横截条件15

1.4.3 充分条件16

1.4.4 含多个函数的泛函变分问题17

1.5 约束变分问题18

1.5.1 ？（x,y1,…,yn）=0型约束18

1.5.2 ？（x,y1,…,yn,y？,…,y？）=0型约束18

第2章 最优控制问题及实例20

2.1 动态系统与状态空间简介20

2.1.1 动态系统的数学描述20

2.1.2 动态系统的状态空间21

2.1.3 动态系统的几种形式22

2.2 最优控制概述23

2.3 最优控制实例分析26

2.3.1 空间技术中的问题26

2.3.2 工程问题27

2.3.3 生产问题28

2.3.4 运动学问题29

第3章 最优控制问题的数学描述30

3.1 最优控制问题的初等描述30

3.1.1 受控制系统的数学模型30

3.1.2 约束条件31

3.1.3 性能指标31

3.1.4 最优控制的提法32

3.2 精确数学表达形式32

3.3 最优控制的三种等价形式33

3.3.1 lagrange（拉格朗日）问题（积分型能指标）33

3.3.2 Mayer（梅厄）问题（终端指标）34

3.3.3 Bolza（波尔查）问题（综合指标）34

3.4 三类问题的互化34

3.4.1 Bolza问题转化为Lagrange问题34

3.4.2 Bolza问题转化为Mayer问题35

3.4.3 Legrange问题转化为Mayer问题35

3.5 最优控制问题与变分问题的互化35

3.5.1 变分问题的三种等价形式35

3.5.2 三种变分问题的互化36

3.5.3 最优控制问题化为变分问题36

3.5.4 变分问题化为最优控制问题37

3.6 离散系统最优控制描述38

3.6.1 离散系统的控制问题38

3.6.2 连续控制问题离散化39

第4章 无约束最优控制问题的变分方法40

4.1 数学模型与终端状态40

4.2 固定终端时间极值的必要条件42

4.2.1 x（tf）自由的情形42

4.2.2 x（tf）受约束的情形44

4.3 自由终端时间极值的必要条件46

4.3.1 S=Rn的情形46

4.3.2 S=｛x(tf)｜N(x(tf),tf)=0,N为q维向量函数｝的情形48

4.4 一般结论及例子51

第5章 约束最优控制问题的变分方法56

5.1 问题提出56

5.2 等式约束下的变分方法57

5.3 特殊等式约束下的迭代方法59

5.4 不等式约束下的变分方法60

5.4.1 Pontryagin极小值原理61

5.4.2 一般方法及例子63

5.4.3 问题与思考67

第2篇 动态规划方法70

第6章 离散系统的动态规划方法70

6.1 多阶段决策问题（引例及相关基本概念）70

6.2 多阶段决策问题的数学描述73

6.2.1 数学模型73

6.2.2 Bellman最优性原理73

6.2.3 动态规划基本定理74

6.3 求解多阶段决策问题的动态规划方法75

第7章 连续系统的动态规划方法79

7.1 连续系统的最优性原理79

7.2 最优控制的必要条件80

7.3 动态规划计算方法83

7.4 算例84

7.5 其他终端时刻、终端状态的情形86

7.6 两种系统（离散与连续）动态规划的比较87

7.6.1 最优性原理87

7.6.2 最优值函数88

7.6.3 基本方程（最优值函数所满足的方程）88

7.7 无约束变分方法、约束变分方法与连续动态规划方法比较89

第8章 最优控制的应用模型91

8.1 生产与库存问题91

8.1.1 离散时间系统的最优库存模型91

8.1.2 连续时间系统的最优库存模型94

8.1.3 带有贴现率的库存问题95

8.2 最优消费时的最优积累率96

8.3 最优经济增长模型99

8.3.1 最优资金积累模型99

8.3.2 引入人口平均消费量的模型100

8.4 最优投资模型102

第3篇 最优控制问题的数值方法108

第9章 两点边值问题108

9.1 引言108

9.2 线性边值问题109

9.2.1 基本恒等式与共轭函数法109

9.2.2 补足函数法112

9.3 非线性边值问题114

9.3.1 迭代-共轭函数法114

9.3.2 拟线性方法（Newton法与补足函数法联合使用）117

9.3.3 优化方法119

9.3.4 Newton法120

9.4 隐式边界条件的求解122

9.5 多重打靶方法124

第10章 无约束最优控制问题的数值方法126

10.1 无约束变分方法的迭代算法126

10.2 梯度法127

10.2.1 泛函的梯度127

10.2.2 迭代步长因子α的选择129

10.2.3 梯度算法129

10.3 共轭梯度法133

10.4 Newton法（二阶变分法）135

10.5 变尺度方法136

第11章 约束最优控制问题的数值方法138

11.1 控制变量约束的处理138

11.2 约束梯度算法139

11.3 Frank-Wolfe方法139

11.4 罚函数法140

11.5 另外形式的迭代算法142

第4篇 LQR问题专题研究147

第12章 标准LQR问题147

12.1 有限时间的LQR问题（连续系统）的状态调节器147

12.1.1 数学模型147

12.1.2 用最优性条件解反馈形式u*(t)=u(x,t)147

12.1.3 求解有限时间LQR问题（线性二次型最优控制问题）的步骤150

12.1.4 关于Riccait矩阵的一些性质152

12.2 有限时间的LQR问题（离散系统的状态调节器）154

12.2.1 离散系统的数学模型154

12.2.2 由极小值原理求最优反馈律154

12.2.3 有限时间离散系统LQR问题解题步骤154

12.2.4 定常系统的动态规划解法155

12.3 无限时间的状态调节器160

12.3.1 数学模型160

12.3.2 最优反馈律160

12.4 无限时间的定常状态调节器162

12.4.1 数学模型162

12.4.2 Riccati矩阵K（t,0,∞）的定常性质162

12.5 附录164

12.5.1 线性时变系统的解164

12.5.2 线性定常系统的解165

12.5.3 线性系统的可控性166

12.5.4 线性系统的可观性167

第13章 可转化为状态调节器的LQR问题171

13.1 输出调节器171

13.1.1 有限时间的输出调节器171

13.1.2 无限时间的输出调节器（定常系统）172

13.2 具有指定稳定度α的调节器173

13.3 常值干扰下的调节器175

13.3.1 不考虑输出方程的数学模型175

13.3.2 最优反馈律176

13.3.3 考虑输出方程的数学模型177

13.4 跟踪调节器181

13.4.1 不考虑输出y（t）的光滑要求181

13.4.2 考虑对y（t）的光滑要求182

第14章 次优LQR问题185

14.1 问题的提出（次优反馈律）185

14.2 关于代价矩阵VL（t）及其性质186

14.3 次优控制的数学模型（次优LQR问题）188

14.3.1 L（t）的结构问题188

14.3.2 L（t）的最优选择188

14.4 次优增益矩阵L°M（t）的收敛性和误差估计189

14.5 次优LQR问题的最优性条件（必要条件）192

14.6 分段定常增益矩阵的算法设计195

第15章 无限终端次优调节器的研究198

15.1 无限终端定常状态调节器的次优输出反馈律198

15.2 无限终端定常输出调节器的最优输出反馈律201

15.3 带控制结构约束的无限终端定常调节器202

15.3.1 次优模型的建立202

15.3.2 次优反馈的必要条件203

15.3.3 算法设计204

附录 补充例题详解206

参考文献224