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目录1

中译版序1

第一章紧致法1

俄译本编者序2

1．相对论量子力学中的一个非线性双曲型方程2

1.1问题的提法2

1.2泛函空间3

序言6

1.3第一个存在定理6

1.4定理1.1的证明8

1.5唯一性定理13

1.6关于光滑性的一个结果15

1.7关于光滑性的另一结果．专门基19

1.8能量不等式和等式21

1.9几个附注26

2．整体的先验估计不存在时的例子和反例27

2.1没有整体的先验估计的双曲型方程27

2.2集合W28

2.3稳定性定理31

2.4一个不存在性定理33

2.5附注36

3．非线性双曲型方程的其他例子37

3.1问题的提法37

3.2存在性与唯一性定理37

4．非线性波动问题42

4.1发展方程42

4.2光滑化发展方程48

4.3定常情况51

4.4定常情况．光滑性54

5.1一般说明55

5．致密性引理55

5.2致密性引理56

5.3定理5.1的应用60

6．Navier-Stokes方程（发展情况）63

6.1问题的提法63

6.2二维空间情况．唯一性68

6.3专门的基70

6.4存在定理6.1的证明；第一种方法73

6.5存在定理的证明；第二种方法76

6.6关于光滑性的定理78

6.7关于整体强解的存在定理80

6.8唯一性定理82

6.9粘性的相关性85

7.1齐次问题97

7．Navier-Stokes方程（定常情况）97

7.2非齐次问题100

8．一个强非线性抛物型方程的例子105

8.1 问题的提法105

8.2先验估计．一般附注105

8.3应用估计108

8.4定理的表述109

8.5引理8.1的证明110

8.6定理8.1中存在性的证明113

8.7定理8.1中唯一性的证明118

9．关于共轭和成对问题118

9.1一个关于共轭的抛物－双曲问题118

9.2耦合方程127

10.2存在唯一性定理129

10.1问题的提法129

10．非线性Schr？dinger方程129

11．在无限与有限边界的流形上的非线性方程132

11.1问题的提法132

11.2在流形Г上的问题133

11.3结果134

11.4具有限边界的流形的情况137

12．非线性退化发展方程138

12.1问题的提法138

12.2关于致密性的一个补充结果139

1 2.3问题的解142

13．问题145

14．评述147

1．单调的抛物型方程152

1.1例．P＞2的情况152

第二章单调性方法和单调性——致密性方法152

1.2存在性的证明154

1.3唯一性的证明159

1.4一个一般的结果159

1.5一般结果的应用161

1.6光滑性的结果164

1.7可和单调算子165

2．定常问题168

2.1第一个一般性结果168

2.2唯一性定理．映像对偶性170

2.3例174

2.4拟单调算子175

2.5变分型算子．公理化研究176

2.6变分型算子．例179

3.1一般评论187

3．基本空间的替代物．应用187

3.2例．非线性扩散问题188

3.3自由边界问题193

4．流形上的非线性发展问题200

4.1问题的提法200

4.2算子？201

4.3在Γ上的等价问题203

5．一类磨光的Navier-Stokes方程．204

致密性方程和单调性方法204

5.1一般的评论．问题的提法204

5.2问题5.1的存在性定理206

5.3一个唯一性定理213

5.4问题5.3的研究214

6.1问题的提法．存在唯一性定理219

6．单调性方法和非线性双曲型方程219

6.2存在性的证明220

6.3唯一性的证明224

7．用定常算子逼近发展算子的近似方法225

7.1一般评论225

7.2抽象发展方程的存在性定理226

7.3应用（Ⅰ）．抛物型方程233

7.4应用（Ⅱ）．周期问题235

7.5应用（Ⅲ）236

7.6应用（Ⅳ）237

7.7其他的附注238

8．椭圆型变分不等式240

8.1例子和一般说明240

8.2椭圆变分不等式的存在性定理244

8.3解的集合248

8.4应用249

8.5变分250

8.6用次微分来解释变分不等式253

8.7光滑性254

8.8比较定理263

8.9其他类型的例子264

9．发展抛物型不等式266

9.1问题的提法266

9.2一致性条件．例269

9.3“弱”解的存在定理271

9.4“弱”解的唯一性定理276

9.5应用277

9.6光滑性定理287

9.7各种附注296

10.1发展方程300

10．各种补充300

10.2发展不等式302

11．问题303

12．评述307

第三章正则化方法和Strafe方法（惩罚法）311

1．椭圆型正则化和发展方程311

1.1一般说明311

1.2极大性引理314

1.3用椭圆型正则化证明的第一存在定理317

1.4用椭圆型正则化证明的第二存在定理320

2．应用322

2.1一般抛物型问题322

2.2一般抛物型问题．周期解329

2.3一阶非线性双曲型方程组331

2.4一阶非线性双曲型方程组和非线性输运方程333

2.5非线性Schr？dinger方程335

2.6一个变型的非线性方程339

2.7在非柱形区域中的非线性抛物型问题346

2.8非线性混合型问题348

3．抛物型正则化和双曲变分不等式349

3.1问题的提法349

3.2一个一般结果350

3.3应用357

4．抛物型正则化和KdV方程365

4.1问题的提法．能量积分365

4.2存在性定理．抛物型正则化366

4.3各种附注371

5．惩罚法和椭圆型变分不等式372

5.1一般说明372

5.2惩罚算子373

5.3惩罚法的应用375

5.4例378

5.5关于光滑性的结果382

5.6各种附注384

6．惩罚法和抛物型发展变分不等式385

6.1一般方法385

6.2例子和对光滑性问题的应用389

6.3非零初值394

6.4 Navier-Stokes算子的单边问题（或不等式）（Ⅰ）398

6.5 Navier-Stokes算子的单边问题（或不等式）（Ⅱ）402

7．惩罚法和双曲型发展变分不等式407

7.1线性算子407

7.2例412

7.3非线性双曲型算子不等式的例子414

8.1一个双曲型例子418

8．惩罚法和非柱形区域中的非线性问题418

8.2各种附注422

9．其他类型的近似422

9.1用抛物型不等式近似椭圆型不等式422

9.2新的单边问题425

10．借助于正则化的多值算子近似427

10.1多值双曲型方程427

10.2多值双曲型不等式430

11．问题430

12．评述432

第四章迭代法．特解434

1．借助于有限差分法的逼近435

1.1一般说明435

1.2半离散和变分不等式435

1.3空间半离散；应用于一维抛物型方程441

2．利用分裂法近似451

2.1 Т.Карлеман的一个问题．定理的表述451

2.2唯一性的证明452

2.3分裂法453

2.4先验估计456

2.5极限过程．存在性定理的证明461

3．通过截断逼近463

3.1问题的提法．结果的表述463

3.2截断法464

3.3定理3.1的证明465

3.4一个不等式的例子466

4．借助于Cauchy-Ковалевская型方程组的逼近470

4.1一般说明470

4.2 Navier-Stokes方程470

4.3流形上的方程476

5．序列逼近479

5.1一般说明479

5.2方程？-？u-u1+？=0479

5.3在Gevrey型空间中的一个非线性积分－微分方程483

6．周期解．抛物型情况487

6.1一般说明487

6.2 Navier-Stokes方程的周期解488

6.3关于单边问题的附注491

7．周期解．双曲型情况494

7.1一般说明494

7.2借助于椭圆型正则化解双曲型问题（7.7）,（7.8）496

7.3双曲型不等式的周期解500

8．当t很大时的性态510

8.1一般说明510

8.2具有单调抛物型算子的发展方程在R？上的有界解511

8.3抛物型不等式情况517

8.4各种附注521

9．和最优控制相联系的非线性偏微分方程的某些例子521

9.1一般说明521

9.2关于无界的控制问题522

9.3用人为发展问题来逼近523

9.4人为发展问题的分裂524

9.5原来控制问题的分裂526

9.6例527

9.7各种附注528

10．问题531

11．评述534

基本符号538

参考文献540