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第1章 三类抽象空间的结构及性质1

1.1 距离空间的结构及性质1

1.1.1 距离空间的定义与例子1

1.1.2 距离空间中的点集构造4

1.1.3 稠密与可分6

1.1.4 完备性与完备化8

1.1.5 稀疏与纲定理11

1.1.6 列紧与紧13

1.1.7 距离空间基础训练与拓展16

1.2 赋范线性空间的结构及性质19

1.2.1 赋范线性空间与Banach空间的定义与例子19

1.2.2 赋范线性空间中的级数与基25

1.2.3 子空间、乘积空间与商空间27

1.2.4 线性拓扑同构与范数等价29

1.2.5 有限维赋范线性空间的特性31

1.2.6 赋范线性空间基础训练与拓展33

1.3 内积空间的结构及性质36

1.3.1 内积空间与Hilbert空间36

1.3.2 正交与正交分解41

1.3.3 正交系与Fourier级数43

1.3.4 可分Hilbert空间的模型48

1.3.5 内积空间基础训练与拓展49

第2章 有界线性算子与有界线性泛函53

2.1 有界线性算子53

2.1.1 线性算子有界与连续53

2.1.2 有界线性算子范数与有界线性算子空间55

2.1.3 有界线性算子基本定理60

2.1.4 有界线性算子基础训练与拓展67

2.2 有界线性泛函71

2.2.1 有界线性泛函表示71

2.2.2 有界线性泛函延拓75

2.2.3 几何形式的Hahn-Banach定理79

2.2.4 各种收敛性81

2.2.5 共轭算子与值域定理84

2.2.6 有界线性泛函基础训练与拓展87

2.3 Banach代数与谱理论入门89

2.3.1 Banach代数可逆元90

2.3.2 Banach代数中元素的谱92

2.3.3 有界线性算子的谱点分类94

2.3.4 紧线性算子谱理论初步97

2.3.5 Banach代数与谱理论入门基础训练及拓展103

第3章 凸分析初步106

3.1 凸集与凸锥106

3.1.1 凸集理论初步106

3.1.2 半范数与Minkowski泛函110

3.1.3 凸锥理论初步113

3.1.4 凸集与凸锥基础训练及拓展115

3.2 局部凸拓扑线性空间115

3.2.1 拓扑线性空间115

3.2.2 局部凸空间120

3.2.3 凸集分离定理122

3.2.4 凸集的端点125

3.2.5 弱拓扑与弱＊拓扑127

3.2.6 自反空间129

3.2.7 局部凸拓扑线性空间基础训练与拓展132

3.3 凸范数与凸函数134

3.3.1 严格凸与一致凸范数134

3.3.2 凸函数及其基本性质141

3.3.3 凸函数的共轭函数144

3.3.4 凸范数与凸函数基础训练及拓展146

第4章 抽象分析初步148

4.1 复测度与复积分148

4.1.1 正测度、实测度与复测度148

4.1.2 复函数关于正测度的积分151

4.1.3 测度的绝对连续性及Radon-Nikodym定理154

4.1.4 复测度的极表示及Hahn分解定理157

4.1.5 Lp上有界线性泛函表示159

4.1.6 复测度与复积分基础训练及拓展160

4.2 Bochner积分与向量测度162

4.2.1 向量值可测函数162

4.2.2 Bochner积分164

4.2.3 向量测度166

4.2.4 Radon-Nikodym性质与Riesz表示171

4.2.5 Bochner积分与向量测度基础训练及拓展176

4.3 自伴算子与谱积分180

4.3.1 自伴算子180

4.3.2 正算子185

4.3.3 投影算子187

4.3.4 自伴算子产生的谱系及谱分解定理191

4.3.5 谱测度与谱积分194

4.3.6 自伴算子与谱积分基础训练及拓展199

第5章 非线性分析初步202

5.1 Banach空间上的抽象微分学初步202

5.1.1 F微分与G微分202

5.1.2 n线性算子与高阶导数211

5.1.3 无限维空间上的Taylor公式216

5.1.4 抽象微分学基础训练与拓展217

5.2 非线性映射不动点218

5.2.1 连续映射与同胚218

5.2.2 压缩映射原理220

5.2.3 压缩映射原理在方程求解中的应用223

5.2.4 紧映射与Schauder不动点定理227

5.2.5 不动点定理综合应用230

5.2.6 非线性映射不动点基础训练与拓展233

5.3 泛函极值初步235

5.3.1 极值概念与可微性条件235

5.3.2 条件极值240

5.3.3 泛函极值存在的下半弱连续条件243

5.3.4 最速下降法与泛函极值存在的（PS）条件246

5.3.5 泛函极值初步基础训练与拓展249

参考文献251