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第一章 函数与极限1

第一节 函数1

一、集合1

二、一元函数的定义3

三、函数的几种特性5

四、反函数7

习题1-17

第二节 初等函数8

一、基本初等函数8

二、复合函数11

三、初等函数12

四、双曲函数12

习题1-213

第三节 数列的极限14

一、数列14

二、数列极限的定义16

三、数列收敛的充分条件与性质17

习题1-319

第四节 函数的极限19

一、自变量趋向无穷大时函数的极限19

二、自变量趋向有限值时函数的极限21

三、函数极限的性质22

习题1-424

第五节 无穷小与无穷大24

一、无穷小24

二、无穷大25

习题1-526

第六节 极限运算法则26

习题1-630

第七节 两个重要极限31

一、重要极限lim x→0 sinx/x=131

二、重要极限lim x→+∞ (1+1/x)x=e33

习题1-734

第八节 无穷小的比较35

习题1-836

第九节 极限的精确定义36

一、数列极限的精确定义36

二、函数极限的精确定义38

三、无穷小与无穷大的精确定义40

四、极限的一些基本定理的证明41

习题1-945

第十节 函数的连续性46

一、函数连续的定义46

二、函数的间断点48

习题1-1049

第十一节 连续函数的运算与初等函数的连续性50

一、连续函数的和、积及商的连续性50

二、反函数与复合函数的连续性50

三、初等函数的连续性51

习题1-1152

第十二节 闭区间上连续函数的性质52

一、最大值和最小值定理52

二、介值定理53

习题1-1254

复习题一54

第二章 导数与微分58

第一节 导数概念58

一、引例58

二、导数的定义60

三、求导数举例61

四、函数的可导性与连续性之间的关系63

五、导数的几何意义64

习题2-164

第二节 函数的求导法则65

一、函数的和、差、积、商的求导法则65

二、反函数的求导法则68

三、复合函数的导数69

习题2-272

第三节 高阶导数73

习题2-376

第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数76

一、隐函数的导数76

二、对数求导法78

三、由参数方程所确定的函数的导数79

四、相关变化率81

习题2-482

第五节 函数的微分83

一、微分的概念83

二、微分的运算公式85

三、微分在近似计算中的应用87

习题2-587

第六节 微元88

复习题二91

第三章 中值定理与导数的应用94

第一节 中值定理94

一、费马定理94

二、罗尔定理95

三、拉格朗日中值定理96

四、柯西中值定理98

习题3-198

第二节 罗必塔法则99

习题3-2103

第三节 泰勒中值定理104

习题3-3107

第四节 函数单调性判别法107

习题3-4109

第五节 函数的极值与最值109

一、函数的极值及其求法109

二、函数的最值及其求法111

习题3-5114

第六节 曲线的凹凸性与拐点114

习题3-6116

第七节 函数作图117

习题3-7119

第八节 曲线的曲率119

一、曲率概念119

二、曲率圆与曲率半径121

习题3-8122

第九节 方程的近似解123

一、二分法123

二、牛顿法124

复习题三125

第四章 不定积分128

第一节 不定积分的概念和性质128

一、原函数与不定积分的概念128

二、不定积分的性质130

三、不定积分的基本公式131

习题4-1133

第二节 换元积分法133

一、第一类换元法133

二、第二类换元法136

习题4-2140

第三节 分部积分法141

习题4-3144

第四节 几种特殊类型函数的积分144

一、有理函数的积分144

二、三角函数有理式的积分146

三、简单无理函数的积分举例147

习题4-4148

复习题四149

第五章 定积分151

第一节 定积分概念151

一、引例151

二、定积分定义153

习题5-1156

第二节 定积分的性质156

习题5-2159

第三节 微积分基本公式159

习题5-3164

第四节 定积分的换元法与分部积分法164

一、定积分的换元法164

二、定积分的分部积分法168

习题5-4169

第五节 广义积分初步170

一、积分区间为无穷的广义积分170

二、无界函数的广义积分172

习题5-5174

第六节 定积分的近似计算174

一、梯形方法174

二、抛物线方法175

复习题五177

第六章 定积分的应用181

第一节 平面图形的面积181

一、直角坐标情形181

二、极坐标情形183

习题6-1184

第二节 体积185

一、旋转体的体积185

二、平行截面面积为已知的立体的体积186

习题6-2188

第三节 平面曲线的弧长188

一、直角坐标情形188

二、参数方程情形189

三、极坐标方程情形190

习题6-3191

第四节 定积分的其他应用191

一、物理中的应用191

二、工程中的应用193

三、经济管理中的应用195

习题6-4196

复习题六197

第七章 常微分方程199

第一节 微分方程的基本概念199

习题7-1202

第二节 可分离变量的微分方程202

习题7-2204

第三节 齐次方程205

习题7-3207

第四节 一阶线性方程207

一、一阶线性微分方程207

二、贝努利（Bernoulli）方程211

习题7-4212

第五节 可降阶的高阶微分方程213

一、y(n)=f（x）型的微分方程213

二、y″=f（x,y′）型的微分方程213

三、y″=f（y,y′）型的微分方程214

习题7-5216

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构216

习题7-6218

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程219

习题7-7222

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程222

一、f(x)=Pm(x)eλx型222

二、f(x)=eλx［Pl(x)cos ωx+Pn(x)sin ωx］型224

习题7-8226

第九节 欧拉方程226

习题7-9228

第十节 常系数线性微分方程组228

习题7-10230

第十一节 微分方程应用举例230

习题7-11236

复习题七237

第八章 向量代数与空间解析几何240

第一节 空间直角坐标系240

一、空间直角坐标系及点的坐标240

二、两点间的距离公式241

习题8-1242

第二节 向量及其运算242

一、向量的概念242

二、向量的线性运算243

三、向量的数量积247

四、向量的向量积248

习题8-2250

第三节 平面方程251

习题8-3253

第四节 空间直线的方程253

一、空间直线的一般方程253

二、空间直线的对称式方程与参数方程254

三、两直线的夹角255

四、直线与平面的夹角256

习题8-4256

第五节 曲面及其方程257

一、曲面与方程257

二、母线平行于坐标轴的柱面258

三、旋转曲面与二次曲面259

习题8-5262

第六节 空间曲线的参数方程 投影柱面262

一、空间曲线的一般方程262

二、空间曲线的参数方程263

三、空间曲线在坐标面上的投影264

习题8-6265

复习题八266

第九章 多元函数微分法及其应用269

第一节 多元函数的基本概念269

一、平面区域的概念269

二、n维空间的概念270

三、多元函数的概念270

四、二元函数的极限272

五、二元函数的连续性273

习题9-1274

第二节 偏导数275

一、偏导数的概念及计算275

二、高阶偏导数277

习题9-2279

第三节 全微分279

习题9-3281

第四节 多元复合函数的求导法则282

习题9-4286

第五节 隐函数的求导公式287

一、一个方程确定的隐函数287

二、由方程组确定的隐函数289

习题9-5290

第六节 多元微分学在几何上的应用290

一、空间曲线的切线和法平面290

二、曲面的切平面与法线293

习题9-6294

第七节 方向导数与梯度295

一、方向导数的概念及计算295

二、梯度297

习题9-7299

第八节 多元函数的极值与最值299

一、极值与最值299

二、条件极值301

习题9-8304

复习题九305

第十章 重积分308

第一节 二重积分的概念与性质308

一、二重积分的概念308

二、二重积分的性质311

习题10-1312

第二节 二重积分的计算法313

一、利用直角坐标计算二重积分313

二、利用极坐标计算二重积分318

习题10-2321

第三节 二重积分的应用323

一、曲面的面积323

二、平面薄片的重心325

三、平面薄片的转动惯量326

习题10-3326

第四节 三重积分327

一、三重积分的概念327

二、三重积分的计算328

三、三重积分的应用333

习题10-4334

复习题十335

第十一章 曲线积分与曲面积分339

第一节 对弧长的曲线积分339

一、对弧长曲线积分的概念339

二、对弧长曲线积分的计算341

习题11-1343

第二节 对坐标的曲线积分344

一、对坐标曲线积分的概念344

二、对坐标曲线积分的计算347

三、两类曲线积分之间的关系350

习题11-2350

第三节 格林公式及其应用351

一、格林公式351

二、平面上曲线积分与路径无关的条件355

习题11-3359

第四节 对面积的曲面积分359

一、对面积的曲面积分的概念360

二、对面积的曲面积分的计算361

习题11-4362

第五节 对坐标的曲面积分362

一、对坐标的曲面积分的概念362

二、对坐标的曲面积分的计算367

习题11-5369

第六节 高斯公式 通量与散度370

一、高斯公式370

二、通量与散度372

习题11-6374

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度374

一、斯托克斯公式374

二、环流量与旋度376

习题11-7378

复习题十一378

第十二章 级数382

第一节 常数项级数的基本概念和性质382

一、常数项级数的基本概念382

二、级数的基本性质385

习题12-1386

第二节 常数项级数敛散性的判别法386

一、正项级数及其敛散性判别法386

二、交错级数及其敛散性判别法391

三、绝对收敛与条件收敛392

习题12-2393

第三节 幂级数394

一、函数项级数的一般概念394

二、幂级数及其收敛性395

三、幂级数的运算399

习题12-3401

第四节 函数展开成幂级数402

习题12-4406

第五节 函数的幂级数展开式的应用407

一、函数值的近似计算407

二、计算定积分407

三、欧拉公式408

习题12-5408

第六节 傅里叶级数409

一、周期为2π的周期函数的傅里叶级数409

二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数415

习题12-6416

复习题十二416

附录420

附录A 数学软件介绍420

第一节 MATLAB软件使用简介421

一、基本操作421

二、基本运算423

三、函数作图425

四、符号微积分427

第二节 Mathematica软件使用简介430

一、基本操作430

二、基本运算432

三、二维图形433

四、Mathematica在微积分中的应用433

附录B 二阶和三阶行列式简介437

附录C 极坐标简介439

附录D 部分习题参考答案与提示443

参考文献477