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第1章 函数、极限与连续1

1.1 预备知识1

1.1.1 实数的绝对值1

1.1.2 集合2

1.1.3 区间和邻域3

习题1.14

1.2 函数5

1.2.1 函数的概念5

1.2.2 函数的几种特性8

1.2.3 反函数与复合函数11

1.2.4 基本初等函数与初等函数14

1.2.5 建立函数关系式举例16

习题1.218

1.3 数列的极限21

1.3.1 数列的概念及其性质21

1.3.2 数列的极限23

1.3.3 数列的收敛性与有界性的关系25

习题1.326

1.4 函数的极限27

1.4.1 自变量趋向于无穷时函数的极限27

1.4.2 自变量趋向于有限值时函数的极限29

1.4.3 函数极限的性质定理32

习题1.433

1.5 极限的运算法则33

1.5.1 极限的四则运算法则33

1.5.2 复合函数的极限38

1.5.3 极限的不等式定理39

习题1.539

1.6 极限存在的夹逼准则、两个重要极限40

1.6.1 极限存在的夹逼准则40

1.6.2 两个重要极限42

习题1.646

1.7 无穷小、无穷大及无穷小的比较47

1.7.1 无穷小47

1.7.2 无穷大48

1.7.3 无穷小的比较48

习题1.751

1.8 函数的连续性与间断点52

1.8.1 函数的连续性52

1.8.2 左、右连续及连续的充要条件54

1.8.3 函数的间断点及其分类55

习题1.858

1.9 连续函数的运算及初等函数的连续性59

1.9.1 连续函数的四则运算59

1.9.2 反函数与复合函数的连续性59

1.9.3 初等函数的连续性60

习题1.961

1.10 闭区间上连续函数的性质62

1.10.1 最大值和最小值定理62

1.10.2 介值定理63

习题1.1064

复习题（1）65

第2章 导数与微分68

2.1 导数的概念68

2.1.1 变化率问题举例68

2.1.2 函数的导数69

2.1.3 导数的几何意义74

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系75

习题2.175

2.2 函数的四则运算求导法则76

2.2.1 函数的和、差求导法则76

2.2.2 函数的积、商求导法则78

习题2.280

2.3 反函数的导数81

2.3.1 反函数的求导法则81

2.3.2 指数函数的导数82

2.3.3 反三角函数的导数83

习题2.384

2.4 复合函数的求导法则85

2.4.1 复合函数的求导法则85

2.4.2 基本求导公式与求导法则89

习题2.490

2.5 高阶导数92

习题2.594

2.6 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数95

2.6.1 隐函数的导数95

2.6.2 对数求导法97

2.6.3 由参数方程所确定的函数的导数98

2.6.4 相关变化率100

习题2.6101

2.7 函数的微分103

2.7.1 微分的定义103

2.7.2 函数可微与可导之间的关系104

2.7.3 微分的几何意义106

2.7.4 函数的微分公式与微分法则107

2.7.5 复合函数的微分法则与一阶微分形式不变性108

2.7.6 微分在近似计算中的应用109

习题2.7111

复习题（2）112

第3章 中值定理与导数的应用115

3.1 中值定理115

3.1.1 罗尔定理115

3.1.2 拉格朗日中值定理116

3.1.3 柯西中值定理118

习题3.1119

3.2 洛必达法则119

3.2.1 0/0和∞/∞型未定式的洛必达法则120

3.2.2 其他未定式的计算123

习题3.2125

3.3 函数单调性的判别法125

习题3.3129

3.4 函数的极值及其求法129

习题3.4134

3.5 最大值、最小值问题135

3.5.1 函数在闭区间上的最大值和最小值135

3.5.2 实际问题中的最大值和最小值136

习题3.5139

3.6 曲线的凹凸性与拐点140

3.6.1 曲线的凹凸性140

3.6.2 曲线的拐点141

习题3.6143

3.7 函数图形的描绘143

3.7.1 曲线的水平渐近线与铅直渐近线144

3.7.2 函数图形的描绘144

习题3.7147

3.8 曲率148

3.8.1 弧微分148

3.8.2 曲率的概念及计算公式149

3.8.3 曲率半径与曲率圆154

习题3.8155

复习题（3）155

第4章 不定积分159

4.1 原函数与不定积分159

4.1.1 原函数与不定积分的概念159

4.1.2 基本积分表163

4.1.3 不定积分的性质165

习题4.1168

4.2 换元积分法169

4.2.1 第一类换元法169

4.2.2 第二类换元法176

4.2.3 基本积分表的扩充180

习题4.2182

4.3 分部积分法184

习题4.3189

4.4 简单有理真分式的积分及三角函数有理式的积分举例189

4.4.1 有理真分式的积分189

4.4.2 三角函数有理式的积分194

习题4.4197

复习题（4）197

第5章 定积分及其应用202

5.1 定积分的概念202

5.1.1 引入定积分概念的实例202

5.1.2 定积分的定义205

5.1.3 定积分的几何意义206

习题5.1209

5.2 定积分的性质 中值定理210

习题5.2214

5.3 牛顿-莱布尼茨公式215

5.3.1 积分上限的函数及其导数215

5.3.2 牛顿-莱布尼茨公式218

习题5.3221

5.4 定积分的换元法与分部积分法222

5.4.1 定积分的换元法222

5.4.2 定积分的分部积分法227

习题5.4229

5.5 定积分的近似计算法231

5.5.1 矩形法231

5.5.2 梯形法231

5.5.3 抛物线法232

习题5.5234

5.6 广义积分235

5.6.1 无穷区间上的广义积分235

5.6.2 无界函数的广义积分238

习题5.6240

5.7 定积分在几何中的应用241

5.7.1 元素法241

5.7.2 平面图形的面积242

5.7.3 某些特殊立体的体积246

5.7.4 平面曲线的弧长250

习题5.7253

5.8 定积分在物理、力学中的应用举例255

5.8.1 计算作功255

5.8.2 计算水压力258

习题5.8261

复习题（5）261

第6章 常微分方程266

6.1 微分方程的基本概念266

6.1.1 引例266

6.1.2 微分方程的一般概念268

习题6.1270

6.2 变量可分离的微分方程及齐次方程271

6.2.1 变量可分离的微分方程271

6.2.2 齐次方程273

习题6.2279

6.3 一阶线性微分方程280

习题6.3287

6.4 可降阶的高阶微分方程288

6.4.1 y(n)=f（x）型288

6.4.2 y"=f（x,y′）型289

6.4.3 y"=f（y,y′）型291

习题6.4295

6.5 二阶常系数线性齐次微分方程295

6.5.1 二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构296

6.5.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法298

习题6.5303

6.6 二阶常系数线性非齐次微分方程303

6.6.1 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加性304

6.6.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法305

习题6.6313

复习题（6）314

附录318

附录A 简单积分表318

附录B 初等数学常用公式323

附录C 极坐标简介326

附录D 某些常用的曲线方程及其图形327