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第一章 函数1

1.1 函数的概念及特性1

一、函数的概念1

二、函数的几种特性3

三、反函数4

四、复合函数5

1.2 初等函数6

一、基本初等函数6

二、初等函数6

习题一7

演示与实验一8

实验习题一12

数学家的故事13

第二章 极限与连续14

2.1 数列的极限14

2.2 函数的极限18

一、当x→x0时函数的极限18

二、当x→∞时函数的极限19

2.3 极限的运算法则与性质20

一、极限的运算法则20

二、两个重要极限21

2.4 无穷大量与无穷小量24

一、无穷大量24

二、无穷小量25

三、无穷小的比较25

四、渐近线27

2.5 函数的连续性27

一、连续与间断的直观描述27

二、连续的定义28

三、函数的间断点29

四、初等函数的连续性30

五、闭区间上连续函数的性质31

习题二33

演示与实验二35

实验习题二36

数学家的故事37

第三章 导数与微分38

3.1 导数的概念38

一、导数的概念38

二、可导性与连续性43

3.2 求导法则43

一、函数和、差、积、商的求导法则43

二、反函数求导法则45

三、基本求导公式46

四、复合函数求导法则46

五、隐函数求导法则47

六、对数求导法48

七、导数的实际意义49

八、相关变化率50

3.3 高阶导数51

3.4 微分及其应用53

一、微分的概念53

二、微分的运算54

三、微分的应用56

习题三58

演示与实验三61

实验习题三63

数学家的故事63

第四章 中值定理与导数应用65

4.1 中值定理65

4.2 洛必达法则68

一、洛必达法则68

二、其他类型未定式的计算71

4.3 导数在几何上的应用72

一、函数的单调性72

二、函数的极值与最值73

三、函数的凸凹性和拐点75

4.4 经济学中的最值问题76

一、边际分析76

二、税收问题77

4.5 导数在其他问题中的应用79

习题四80

演示与实验四81

实验习题四83

数学家的故事83

第五章 积分85

5.1 定积分的概念85

一、变速直线运动位移的计算85

二、曲边梯形面积的计算86

三、定积分的定义87

四、定积分的基本性质88

5.2 定积分基本定理89

一、原函数的定义89

二、积分上限的函数及其导数90

三、微积分基本定理92

5.3 不定积分93

一、不定积分的定义及性质93

二、不定积分的几何意义94

5.4 不定积分的计算95

一、不定积分计算的基本公式95

二、不定积分计算的基本方法95

5.5 定积分的计算105

一、定积分直接积分法105

二、定积分换元积分法105

三、定积分分部积分法107

5.6 无穷限积分108

5.7 定积分的近似计算109

一、梯形法110

二、辛普生（Simpson）法112

习题五115

演示与实验五116

实验习题五118

数学家的故事118

第六章 定积分的应用120

6.1 定积分应用的基本思想方法120

一、黎曼和120

二、微元法121

6.2 平面图形的面积123

一、直角坐标情形123

二、极坐标情形126

6.3 立体的体积128

一、旋转体的体积128

二、平行截面面积为已知的立体的体积129

6.4 社会科学中的应用130

一、函数平均值130

二、在经济学中的应用132

三、学习曲线模型136

四、生物上的应用136

习题六137

演示与实验六139

实验习题六141

数学家的故事141

第七章 多元函数微分学143

7.1 多元函数的基本概念143

一、引例143

二、多元函数143

三、二元函数的几何表示144

四、极限与连续150

7.2 偏导数与全微分151

一、偏导数152

二、高阶偏导数153

三、全微分154

7.3 复合函数与隐函数求导法155

一、复合函数偏导数的链式法则155

二、隐函数求导法156

7.4 二元函数的极值158

一、（无）条件极值的概念158

二、无条件极值158

三、条件极值160

7.5 多元微分的应用162

一、用偏导数作经济边际分析162

二、经济函数优化问题163

习题七166

演示与实验七167

实验习题七172

数学家的故事173

第八章 二重积分175

8.1 二重积分的概念与性质175

一、二重积分的概念175

二、二重积分的性质176

8.2 二重积分的计算176

一、在直角坐标系中计算二重积分176

二、在极坐标系中计算二重积分180

习题八182

演示与实验八183

实验习题八184

数学家的故事184

第九章 微分方程及其应用187

9.1 微分方程及其相关概念187

9.2 微分方程的解析解189

一、直接积分法189

二、变量代换法191

三、猜测法193

9.3 微分方程的应用197

一、自由落体运动模型197

二、物体冷却的数学模型198

三、衰变问题模型199

四、指数增长模型与阻滞增长模型200

五、经典数学模型在其他领域中的应用202

9.4 定性理论初步203

一、方向场204

二、一阶方程的平衡点及稳定性205

9.5 微分方程的数值解法206

一、欧拉法206

二、改进的欧拉方法207

习题九208

演示与实验九210

实验习题九211

数学家的故事212

第十章 无穷级数214

10.1 无穷级数及其性质214

10.2 常数项级数的敛散性217

一、正项级数敛散性的判别217

二、交错级数的敛散性219

10.3 幂级数及其运算220

一、收敛域的概念220

二、幂级数的概念及敛散性221

三、幂级数的运算223

10.4 幂级数展开224

10.5 幂级数的应用举例226

习题十228

演示与实验十229

实验习题十234

数学家的故事234

附录一 部分习题参考答案237

附录二 预备知识248

附录三 Mathematica软件使用简介251

参考文献266