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第一章 函数、极限与连续性1

第一节 函数1

一、区间与邻域1

二、函数及其表示方法2

三、建立函数关系举例6

四、某些函数具有的一些特性7

五、初等函数9

六、极坐标和参数方程15

七、双曲函数与反双曲函数18

习题1-120

第二节 极限的概念24

一、数列的极限24

二、函数的极限29

三、无穷大35

习题1-236

第三节 极限运算38

一、无穷小及其运算38

二、极限的运算法则41

习题1-345

第四节 极限存在准则 两个重要极限46

一、极限存在准则46

二、两个重要极限47

习题1-450

第五节 无穷小的比较51

习题1-554

第六节 函数的连续性55

一、连续函数的概念55

二、连续函数的基本性质57

三、闭区间上连续函数的性质60

四、函数的间断点及其分类61

习题1-663

数学实验一65

第二章 导数与微分69

第一节 导数的概念69

一、瞬时速度 切线的斜率69

二、导数的定义70

三、可导与连续的关系73

习题2-174

第二节 导数的计算方法76

一、几个基本初等函数的导数公式77

二、导数的四则运算法则79

三、反函数的导数81

四、复合函数的导数83

习题2-287

第三节 高阶导数89

习题2-392

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数93

一、隐函数的导数93

二、由参数方程所确定的函数的导数96

三、相关变化率99

习题2-4101

第五节 微分及其在近似计算中的运用103

一、微分的概念103

二、基本初等函数的微分公式与微分运算106

法则106

三、微分在近似计算中的运用107

习题2-5109

数学实验二111

第三章 导数的应用114

第一节 中值定理114

一、罗尔定理114

二、拉格朗日中值定理116

三、柯西中值定理118

习题3-1120

第二节 洛必达法则121

一、0/0型及∞/∞型未定式极限求法：洛比达法则121

二、0·∞，∞-∞，00，1∞，∞0型未定式极限的求法124

习题3-2127

第三节 泰勒公式128

一、问题的提出128

二、泰勒中值定理130

三、应用举例131

习题3-3133

第四节 函数的单调性与凹凸性133

一、单调性的判别法134

二、单调区间的求法135

三、曲线凹凸性的定义136

四、曲线凹凸性的判定137

五、曲线的拐点及其求法138

习题3-4141

第五节 函数的极值与最值142

一、函数极值的定义142

二、函数极值的求法143

三、函数最值的求法146

四、应用举例147

习题3-5149

第六节 函数图形的描绘150

一、渐近线150

二、函数图形描绘的步骤152

三、作图举例152

习题3-6155

第七节 曲率155

一、弧微分155

二、曲率及其计算公式156

三、曲率圆与曲率半径159

习题3-7160

数学实验三160

第四章 一元函数积分学及其应用163

第一节 定积分的概念与性质163

一、定积分产生的源问题163

二、定积分的定义165

三、定积分的性质167

习题4-1170

第二节 微积分基本定理172

一、原函数的概念172

二、变速直线运动中位移函数与速度函数之间的联系173

三、积分上限函数及其导数173

四、牛顿-莱布尼茨公式177

习题4-2179

第三节 不定积分的概念和性质180

一、不定积分的概念181

二、基本积分表183

三、不定积分的性质184

习题4-3185

第四节 不定积分的计算方法186

一、换元积分法187

二、分部积分法196

三、几类特殊函数的积分法200

习题4-4205

第五节 定积分的计算方法208

一、定积分的换元法208

二、定积分的分部积分法212

习题4-5214

第六节 反常积分216

一、无穷区间上的反常积分216

二、无界函数的反常积分218

习题4-6221

第七节 定积分的几何应用221

一、定积分的元素法221

二、平面图形的面积223

三、两类特殊立体的体积229

四、平面曲线的弧长232

习题4-7234

第八节 定积分的物理应用236

一、液体的压力236

二、变力沿直线所作的功237

三、引力238

习题4-8240

数学实验四241

第五章 常微分方程243

第一节 微分方程的基本概念243

一、引例243

二、基本概念244

习题5-1248

第二节 一阶微分方程249

一、可分离变量的微分方程249

二、齐次方程251

三、可化为齐次方程的微分方程252

四、一阶线性微分方程254

习题5-2259

第三节 可降阶的高阶微分方程262

一、y（n）=f（x）型的微分方程262

二、y”=f（x，y’）型的微分方程263

三、y”=f（y，y’）型的微分方程265

习题5-3266

第四节 高阶线性微分方程267

一、高阶线性微分方程的概念及例子267

二、二阶线性微分方程通解的结构268

三、常数变易法272

习题5-4273

第五节 常系数线性微分方程274

一、二阶常系数齐次线性微分方程275

二、二阶常系数非齐次线性微分方程278

习题5-5284

数学实验五286

第六章 无穷级数289

第一节 无穷级数的概念及其性质289

一、无穷级数的概念289

二、无穷级数的基本性质294

三、柯西收敛原理296

习题6-1297

第二节 常数项级数的审敛法298

一、正项级数及其审敛法299

二、交错级数 任意项级数 绝对收敛 条件收敛308

习题6-2312

第三节 函数项级数与幂级数314

一、函数项级数314

二、幂级数及其收敛性315

三、幂级数的运算320

习题6-3324

第四节 函数展开成幂级数325

一、泰勒级数325

二、函数展开成幂级数327

习题6-4335

第五节 幂级数的应用336

一、函数值的近似计算336

二、在积分计算中的应用339

三、求极限340

四、证明欧拉公式340

习题6-5341

第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质341

一、一致收敛性的概念341

二、一致收敛级数的基本性质345

三、幂级数的一致收敛性348

习题6-6350

第七节 傅里叶级数350

一、三角级数 三角函数系的正交性350

二、周期为2π的函数展开为傅里叶级数352

三、周期为2l的函数的傅里叶级数359

四、定义在[-l，l]或[0，l]上的函数的傅里叶级数362

习题6-7365

数学实验六367

附录Ⅰ 积分表369

附录Ⅱ 常用平面曲线及其图形380

附录Ⅲ 初等数学中的常用公式384

附录Ⅳ MATLAB概要387

部分习题答案399