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第1章 绪论1

1.1 现代化工发展的趋势1

1.2 化工问题的数学描述3

1.3 化工问题的数学模型方法6

1.3.1 化工数学物理模型法的具体工程实例7

1.3.2 数学物理模型的用途10

1.3.3 数学物理模型的分类10

1.3.4 机理模型化方法的原则步骤11

1.4 本书的内容架构12

参考文献13

第2章 常微分方程15

2.1 变量可分离的微分方程15

2.1.1 微分方程的基本概念15

2.1.2 微分方程的分离变量法16

2.2 一阶线性微分方程17

2.2.1 齐次一阶线性微分方程18

2.2.2 非齐次一阶线性微分方程22

2.3 高阶微分方程24

2.3.1 线性微分方程解的结构24

2.3.2 齐次常系数线性微分方程的余函数26

2.3.3 非齐次常系数线性微分方程的特解28

2.3.4 特殊类型变系数高阶微分方程35

2.4 线性微分方程组43

2.4.1 一阶线性微分方程组44

2.4.2 高阶常系数线性微分方程组45

2.5 微分方程的级数解47

2.5.1 泰勒级数47

2.5.2 傅里叶级数51

参考文献54

第3章 复变函数概述55

3.1 复数及其代数运算55

3.1.1 复数的表示法55

3.1.2 复数的运算57

3.2 复变函数60

3.2.1 复变函数的基本概念60

3.2.2 基本超越函数64

3.2.3 复变函数的导数66

3.3 解析函数和调和函数68

3.3.1 解析函数的基本概念68

3.3.2 调和函数70

3.4 解析函数的积分72

3.4.1 复变函数的积分72

3.4.2 柯西积分定理73

3.5 解析函数的级数77

3.5.1 解析函数的泰勒级数77

3.5.2 罗朗级数与孤立奇点78

3.6 留数理论及其应用81

3.6.1 留数的定义和计算82

3.6.2 计算极点的留数83

3.6.3 应用留数定理计算实变函数的积分85

参考文献91

第4章 矢量分析与场论92

4.1 矢量函数92

4.1.1 矢量函数的基本概念92

4.1.2 矢量函数的导数和积分94

4.2 二阶张量97

4.2.1 张量的概念97

4.2.2 张量的代数运算103

4.3 场论概述105

4.3.1 数量场105

4.3.2 矢量场109

4.3.3 矢量场的梯度与张量场的散度117

4.3.4 在正交曲线坐标系中物理量的梯度、散度和旋度的表达119

4.4 场论在化学工程中的应用123

4.4.1 描述流体运动的两种方法123

4.4.2 物理量的质点导数129

4.4.3 三种重要的矢量场131

4.4.4 化工系统中数理模型的建立140

4.4.5 在化学工程中场论的应用142

参考文献153

第5章 积分变换154

5.1 积分变换的基本概念154

5.2 傅里叶变换155

5.2.1 傅里叶积分156

5.2.2 傅里叶变换的定义和δ函数158

5.2.3 傅里叶变换的性质和定理164

5.2.4 多维傅里叶变换166

5.3 拉普拉斯变换171

5.3.1 拉普拉斯变换的定义和性质171

5.3.2 拉普拉斯逆变换178

5.3.3 拉普拉斯变换的应用184

参考文献193

第6章 偏微分方程与特殊函数194

6.1 偏微分方程的基本概念和分类194

6.1.1 典型二阶线性偏微分方程195

6.1.2 偏微分方程的定解条件和定解问题200

6.2 典型偏微分方程的建立208

6.2.1 波动方程208

6.2.2 输运方程212

6.2.3 稳态方程216

6.3 偏微分方程的分离变量法217

6.3.1 斯图姆—刘维尔型方程及其本征值问题217

6.3.2 用傅里叶级数展开分离变量219

6.3.3 齐次偏微分方程的分离变量法224

6.4 非齐次泛定方程231

6.4.1 本征函数法231

6.4.2 非齐次边界条件的处理235

6.5 球坐标系中的分离变量法241

6.5.1 勒让德方程的引出242

6.5.2 勒让德方程的解244

6.5.3 勒让德多项式和傅里叶—勒让德级数247

6.5.4 关联勒让德函数252

6.5.5 勒让德函数的应用举例256

6.6 柱坐标系中的分离变量法259

6.6.1 贝塞尔方程的引出259

6.6.2 柱贝塞尔方程的解262

6.6.3 柱贝塞尔函数的性质266

6.6.4 柱贝塞尔方程及其解的形式274

6.6.5 柱坐标系偏微分方程解的形式275

6.6.6 球贝塞尔方程276

6.6.7 贝塞尔方程的应用举例278

6.7 冲量定理法和格林函数法285

6.7.1 δ函数285

6.7.2 冲量定理及其应用289

6.7.3 稳态问题的格林函数法294

6.7.4 非稳态问题的格林函数法303

6.8 无界空间的定解问题306

6.8.1 齐次波动方程的行波法307

6.8.2 分离变量的傅里叶积分法314

6.8.3 用点源法求无界空间的格林函数317

参考文献323

第7章 偏微分方程的近似法324

7.1 变分法及其应用325

7.1.1 变分的基本问题和泛函的变分325

7.1.2 泛函的基本概念327

7.1.3 泛函的极值和欧拉方程331

7.1.4 泛函的条件极值338

7.1.5 变分问题的瑞利—里茨直接法344

7.1.6 变分法在工程中的应用351

7.2 数值计算的基本概述359

7.2.1 数值计算的基本方法359

7.2.2 伽辽金方法362

7.3 偏微分方程的有限差分法364

7.3.1 有限差分及其基本差分格式365

7.3.2 偏微分方程的基本差分格式369

7.3.3 差分方程的稳定性379

7.4 有限单元法概述383

7.4.1 有限单元法的基本知识383

7.4.2 不可压缩流体N-S方程的有限元解387

7.5 数值计算的商业软件及其应用391

7.5.1 软件的相关概念391

7.5.2 常用商业软件简介394

7.5.3 聚合物流动模拟软件Polyflow的应用400

参考文献416

附录一 拉普拉斯变换表418

附录二 练习题答案421

附录三 索引429