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第一模块 一元函数微分学及其应用2

第1章变量之间依存关系的数学模型——函数·数学模型方法概述2

第1章学习提要2

第1章概述2

学习目标3

1.1函数概念3

1.1.1变量数学的产生3

1.1.2变量之间依存关系的数学模型——函数4

1.1.3基本初等函数7

【能力训练1.1】8

【数学文化聚焦】笛卡儿9

1.2由已知函数产生的新函数——初等函数9

1.2.1平移和伸缩9

1.2.2函数的四则运算10

1.2.3反函数10

1.2.4函数的复合运算11

1.2.5初等函数13

【能力训练1.2】13

【数学文化聚焦】解数学题——过程的比较14

1.3数学模型方法概述14

1.3.1分段函数14

1.3.2构建函数模型的步骤和方法16

【能力训练1.3】18

【数学文化聚焦】数学模型与求解实际问题的描述18

1.4拓展与提高19

1.4.1邻域19

1.4.2函数的解析式表示19

1.4.3逆向思维的实例——反三角函数20

1.4.4空间直角坐标系和二元函数21

【能力训练1.4】24

【数学文化聚焦】地震震级与对数24

第1章学法建议25

【数学文化聚焦】无处不在的数学技术——从CT扫描到飞行控制25

【综合能力训练一】26

第1章能力训练参考答案28

第2章 变量无限变化的数学模型——极限·连续30

第2章学习提要30

第2章概述30

学习目标31

2.1极限思想概述31

2.1.1微积分理论的创立31

2.1.2中国古代极限思想31

2.1.3芝诺悖论32

【能力训练2.1】34

【数学文化聚焦】芝诺悖论对数学发展的意义34

2.2变量无限变化的数学模型——函数极限35

2.2.1数列极限和等比级数35

2.2.2 x→∞时函数f（x）的极限38

2.2.3 x→x0时函数f（x）的极限40

【能力训练2.2】42

【数学文化聚焦】等比级数和的几何证明法43

2.3无穷小与无穷大44

2.3.1无穷小44

2.3.2无穷大46

2.3.3无穷大与无穷小的关系46

【能力训练2.3】47

【数学文化聚焦】祖冲之与圆周率48

2.4求极限的方法——四则运算法则和两个重要极限公式49

2.4.1求极限的基本方法49

2.4.2两个重要极限公式51

【能力训练2.4 】55

【数学文化聚焦】Koch雪花曲线与分形几何学56

2.5变量连续变化的数学模型——连续函数57

2.5.1函数连续的概念57

2.5.2函数的连续性58

【能力训练2.5】60

【数学文化聚焦】奥运会成绩的极限60

2.6拓展与提高61

2.6.1再谈函数极限61

2.6.2函数的连续性64

2.6.3无穷小的比较65

【能力训练2.6】68

【数学文化聚焦】数学对萤火虫同步闪光的解释68

第2章学法建议69

【数学文化聚焦】大学数学重在介绍思想70

【综合能力训练二】71

第2章能力训练参考答案72

第3章 函数变化率和增量的估值描述——导数·微分74

第3章学习提要74

第3章概述75

学习目标75

3.1函数的局部变化率——导数75

3.1.1关于导数的实例75

3.1.2函数y=f（x）在点x0处的导数——导数值77

3.1.3曲线在已知点的切线斜率——导数的几何意义78

3.1.4函数y=f（x）在区间（a，b）内的导数——导函数78

【能力训练3.1】79

【数学文化聚焦】贝克莱悖论与第二次数学危机80

3.2求导数的方法——求导基本公式和运算法则81

3.2.1导数的基本公式81

3.2.2导数的四则运算法则82

【能力训练3.2】84

【数学文化聚焦】导数显示表——汽车的车速表84

3.3求导数的方法——复合函数和隐函数的导数85

3.3.1复合函数的导数法则85

3.3.2隐函数求导法88

3.3.3二阶导数90

【能力训练3.3】91

【数学文化聚焦】百米赛跑数学模型92

3.4微分及其计算93

3.4.1微分的定义93

3.4.2微分的计算94

【能力训练3.4】96

【数学文化聚焦】简单优美而深刻的欧拉公式96

3.5提高与拓展97

3.5.1再谈导数97

3.5.2反函数的导数99

3.5.3隐函数求导的另一种方法100

3.5.4取对数求导法102

3.5.5 n阶导数102

3.5.6微分的应用103

【能力训练3.5】106

【数学文化聚焦】4×100米接力赛的困惑107

第3章学法建议108

【数学文化聚焦】陈希孺院士赠言学好数学重在多做习题109

【综合能力训练三】110

第3章综合能力训练参考答案111

第4章 导数的应用问题——最值问题·函数的形态·曲率113

第4章学习提要113

第4章概述113

学习目标114

4.1工程中的最值问题114

4.1.1最值问题的经典案例——输油管道的铺设114

4.1.2最大值和最小值——函数的整体性质115

4.1.3极大值和极小值——函数的局部性质115

4.1.4如何求工程问题的最值115

4.1.5油井问题的最优解117

4.1.6其他例子117

【能力训练4.1】120

【数学文化聚焦】费马120

4.2函数的形态描述——单调性与极值、凹向性与拐点121

4.2.1函数的单调性与极值121

4.2.2曲线的凹凸性与拐点123

【能力训练4.2】126

【数学文化聚焦】数学——严密的、系统的理论体系126

4.3曲线弯曲程度的描述——曲率127

4.3.1曲率127

4.3.2曲率半径130

【能力训练4.3】131

【数学文化聚焦】数学工具131

4.4计算未定式极限的一般方法——洛必达法则132

【能力训练4.4】134

【数学文化聚焦】数学对其他学科和高科技的影响134

4.5提高与拓展135

4.5.1闭区间上连续函数的最值问题135

4.5.2再谈函数的极值137

4.5.3再谈曲线的凹凸性140

4.5.4函数图形的综合认识143

【能力训练4.5】146

【数学文化聚焦】蜂窝猜想146

第4章学法建议147

【数学文化聚焦】能诗善文的华罗庚148

【综合能力训练四】149

第4章能力训练参考答案151

第二模块 一元函数积分学及其应用154

第5章 微分的逆运算问题——不定积分154

第5章学习提要154

第5章概述154

学习目标155

5.1不定积分及其性质155

5.1.1积分学的创立155

5.1.2逆向思维又一例——原函数与不定积分的概念155

5.1.3不定积分的基本性质与几何意义158

5.1.4基本积分公式与运算性质159

5.1.5求不定积分的基本方法160

【能力训练5.1】161

【数学文化聚焦】莱布尼茨162

5.2凑微分法163

【能力训练5.2】167

【数学文化聚焦】微积分学在中国的最早传播人——李善兰168

5.3分部积分法168

5.3.1分部积分公式168

5.3.2如何正确使用分部积分公式169

【能力训练5.3】171

【数学文化聚焦】数学解题策略：转化171

5.4提高与拓展172

5.4.1第二换元法172

5.4.2分部积分法的其他例子174

【能力训练5.4】175

【数学文化聚焦】李大潜院士谈学数学的目的175

第5章学法建议176

【数学文化聚焦】数学大师丘成桐的数学强国梦177

【综合能力训练五】178

第5章能力训练题参考答案178

第6章 求总量的问题——定积分及其应用181

第6章学习提要181

第6章概述181

学习目标182

6.1定积分的概念182

6.1.1定积分的起源182

6.1.2定积分的定义183

6.1.3定积分的几何意义183

6.1.4定积分的性质184

6.1.5如何求定积分∫baf（x） dx的值185

【能力训练6.1】186

【数学文化聚焦】牛顿187

6.2计算定积分的一般方法——换元法和分部积分法188

6.2.1定积分的换元法188

6.2.2定积分的分部积分法191

【能力训练6.2】192

【数学文化聚焦】微积分符号史漫谈192

6.3定积分概念的拓展——无穷区间上的反常积分194

【能力训练6.3】196

【数学文化聚焦】谁先创立微积分？197

6.4定积分的魅力展现——定积分的应用197

6.4.1定积分的微元法197

6.4.2平面图形的面积198

6.4.3旋转体的体积199

6.4.4平面曲线的弧长201

6.4.5变力做功201

6.4.6液体对侧面的压力202

6.4.7其他实例202

【能力训练6.4】204

【数学文化聚焦】定积分——存储和积累过程205

6.5拓展与提高206

6.5.1再谈定积分的概念206

6.5.2再续定积分的应用208

【能力训练6.5】210

【数学文化聚焦】近代数学巨匠——希尔伯特210

第6章学法建议211

【数学文化聚焦】哲学角度认识极限法212

【综合能力训练六】213

第6章能力训练题参考答案214

第7章 含变化率的方程问题——常微分方程216

第7章学习提要216

第7章概述216

学习目标217

7.1微分方程的初步认识——基本概念217

7.1.1微分方程的定义217

7.1.2微分方程的解与通解218

7.1.3初始条件与特解218

【能力训练7.1】219

【数学文化聚焦】生物学中的数学220

7.2一阶微分方程220

7.2.1可分离变量的微分方程221

7.2.2一阶线性微分方程223

【能力训练7.2】225

【数学文化聚焦】材料科学中的数学225

7.3用微分方程解决实际问题的方法226

【能力训练7.3】229

【数学文化聚焦】微积分发展与应用编年史（1615—1883年）230

7.4拓展与提高231

7.4.1二阶常系数齐次线性微分方程232

7.4.2二阶常系数非齐次线性微分方程233

【能力训练7.4】237

【数学文化聚焦】欧拉——我们大家的老师237

第7章学法建议238

【数学文化聚焦】数学技术的巨大作用239

【综合能力训练七】240

第7章能力训练参考答案241

附录一用MATLAB数学软件来认识应用数学（一）243

一、MATLAB简介243

实验一MATLAB操作入门243

实验二 变量与函数246

二、函数的MATLAB计算与作图248

实验三 利用MATLAB进行基本数学运算248

实验四 利用MATLAB绘制平面曲线的图形249

三、利用MATLAB计算一元函数微积分问题251

实验五 求解函数极限251

实验六 求解函数导数253

实验七 导数的应用255

实验八 求解函数积分258

附录二 希腊字母及其发音、意义261

附录三 初等数学常用公式262