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第一章 集合1

一、内容结构1

二、主要的数学思想与方法1

三、疑难点学习方法3

（一）集合概念3

（二）集合的运算3

（三）对等与基数4

四、专题选讲5

（一）一个区间与区间列5

1．开区间（a,b）用可数个闭区间之并表示5

2．闭区间［a,b］用无限个开区间之交表示6

3．由函数关系确定的集合用集合列表示7

（二）集合列的极限9

1．集合列的极限定义9

2．关于？An与？An11

3．集合列的极限与特征函数14

4．函数的连续性与集列的极限15

5．fn（x）不收敛于f（x）的点集D16

（三）集合的基数17

1．基数的概念17

2．无限集的特征性质17

3．基数大小的比较18

4．伯恩斯坦定理18

（四）基数最小的无限集——可数集合·自然数集21

1．可数集的概念21

2．可数集是基数最小的无限集21

3．可数集的运算性质21

4．可数集的典型例子24

（五）R的基数·连续基数·不可数集合28

1．怎样证明［0,1］是不可数集？28

2．连续基数对并运算封闭31

3．无最大基数定理31

4．著名的数学难题32

5．具有连续基数的典型集合32

6．证明（0,1）～［0,1］34

（六）集合论发展简史36

（七）高等数学教学中的审美教育［1］38

第二章　点集41

一、内容结构41

二、主要的数学思想与方法42

三、疑难点学习方法42

（一）基本概念的学习42

（二）集合E与E0,E′，？E，？43

（三）点集中的开集与闭集43

四、专题选讲44

（一）Rn空间中的距离44

1．点集E中点的距离44

2．距离的有关概念45

3．度量空间举例47

（二）Rn中定点P0与子集E的关系49

1．定义49

2．集E不同类点之间的相互关系49

3．聚点的等价性50

4．有关E的点集——E0,E′，？E，？51

（三）开集与闭集53

1．开集与闭集的定义53

2．开集与闭集的交运算、并运算性质54

（四）R上开集与闭集的结构58

1．构成区间的定义58

2．直线上开集、闭集、完备集的构造58

（五）几个基本定理60

1．聚点原理（B—W定理）60

2．闭集套原理60

3．有限覆盖定理61

（六）谈谈Cantor集［2］63

第三章　可测集合67

一、内容结构67

二、主要的数学思想与方法67

三、疑难点学习方法68

（一）直线上有界点集的测度68

（二）零测度集69

（三）可测集的结构69

四、专题选讲70

（一）点集测度的定义70

1．点集测度的引入70

2．点集测度的定义70

3．几点说明72

（二）可测集合的主要性质75

1．可测集合的基本性质75

2．可测集的充要条件76

3．可测集的运算性质77

4．常用可测集类80

（三）零测度集81

（四）可测集的构造84

（五）关于测度的几点评注87

（六）实变函数中的开集与闭集［3］91

1．度量空间的特殊点集——开集与闭集91

2．连续函数与开集、闭集93

3．开集、闭集与可测集95

4．可测函数与连续函数96

5．开集、闭集与L积分96

第四章　可测函数98

一、内容结构98

二、主要的数学思想与方法99

三、疑难点学习方法100

（一）可测函数的定义100

（二）可测函数列的收敛性100

（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理101

四、专题选讲102

（一）简单函数102

（二）可测函数的概念105

（三）可测函数与连续函数的关系114

1．集E上函数连续的定义114

2．连续函数是可测函数114

3．可测函数与连续函数115

（四）可测函数120

1．可测函数的基本运算120

2．可测函数的复合运算121

3．函数列运算的可测性122

（五）可测函数列124

1．叶果洛夫定理124

2．可测函数列依测度收敛129

3．可测函数列｛fn（x）｝几种收敛之间的关系136

（六）特征函数及其应用［4］138

1．集合与特征函数138

2．特征函数与L可测函数140

3．特征函数与L积分143

第五章 Lebesgue积分一、内容结构147

二、主要的数学思想与方法148

三、疑难点学习方法148

（一）L积分定义148

（二）L积分有关“绝对值”的性质151

（三）L积分序列的极限定理152

四、专题选讲154

（一）L积分的概念154

1．定义引入的两种方式154

2．L积分定义的几点说明160

（二）L积分的初等性质162

1．积分的线性性质162

2．L积分对积分域的可数可加性163

3．L积分的单调性163

4．与零测集有关的积分性质163

5．L积分的有关特性165

（三）函数列的积分与极限166

1．勒维定理166

2．法都定理170

3．控制收敛定理与参变量积分175

（四）L重积分与富比尼定理180

1．富比尼定理180

2．富比尼定理的说明184

3．L积分的几何意义185

4．富比尼定理应用举例187

（五）勒贝格不定积分与微分190

1．问题的提出190

2．有界变差函数191

（六）L积分与R积分202

1．R可积的充要条件202

2．R积分与L积分的联系203

3．R广义积分与L积分的区别204

4．L重积分的计算205

5．函数列积分的极限206

（七）实变函数中三个有关绝对值的概念［5］209

1．勒贝格积分绝对连续性209

2．勒贝格积分绝对可积性210

3．绝对连续函数211

（八）实变函数的教学与学生能力的培养214

1．精心钻研教材，提升教学质量214

2．传授知识、培养能力、提高素质融为一体214

参考文献217