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绪论1

第1章 集合和集合论5

1.1 集合论语言5

1.2 集合的幂集8

1.3 集合的运算9

1.4 集合论公理10

1.5 从集合论观点看中学数学中的某些概念和问题14

研究与思考题20

第2章 关系和映射（函数）21

2.1 笛卡儿（Descartes）积21

2.2 关系及其性质22

2.3 等价关系27

2.4 序关系28

2.5 映射和函数31

2.6 中学数学中的关系和映射（函数）37

研究与思考题39

第3章 代数41

3.1 代数运算41

3.2 运算律43

3.3 逆运算45

3.4 数学结构46

3.5 与中学数学有关的代数系统51

研究与思考题55

第4章 数学归纳法56

4.1 皮亚诺（Peano）公理与数学归纳法原理56

4.2 数学归纳法在应用中应注意的问题59

研究与思考题63

第5章 数系65

5.1 自然数系65

5.2 整数系70

5.3 有理数系75

5.4 实数系79

5.5 复数系83

5.6 四元数与八元数85

5.7 数系的无限扩充90

5.8 超限数与中学数学94

研究与思考题95

第6章 代数数、超越数和几何作图不能问题96

6.1 代数数和超越数96

6.2 几何作图不能问题101

研究与思考题106

第7章 几何107

7.1 《几何原本》与欧氏几何107

7.2 《几何基础》和近代公理法111

7.3 爱尔兰根纲领与几何学的统一116

7.4 微分几何学——高斯—博内公式119

7.5 长度、面积和体积122

7.6 向量几何128

7.7 中学几何的几个问题131

研究与思考题147

第8章 图形与拓扑学大意149

8.1 图形的性质和拓扑空间149

8.2 同胚和同胚不变性153

8.3 维数的定义158

8.4 图形的连通性161

8.5 闭多面形的欧拉定理164

8.6 简单的组合几何问题167

8.7 简单的图论问题177

研究与思考题183

第9章 分形几何概观185

9.1 分形几何的产生185

9.2 分形与分维186

9.3 分形的应用190

9.4 分形进入中学数学课堂197

研究与思考题198

第10章 混沌学——非线性数学199

10.1 混沌学的诞生199

10.2 混沌的定义200

10.3 混沌的应用202

研究与思考题提示和参考答案208

索引215

参考文献220